Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59808 / 59788
↖ ↑ ↗
← S 81.423769°
E148.535156°		 ← 91.09 m → S 81.423769°
E148.540650°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 81.424588°
E148.535156°		 ← 91.08 m →
8 293 m²		 S 81.424588°
E148.540650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912605285644531 y=0.912300109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912605285644531 × 216)
    floor (0.912605285644531 × 65536)
    floor (59808.5)     		tx = 59808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912300109863281 × 216)
    floor (0.912300109863281 × 65536)
    floor (59788.5)     		ty = 59788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59808 / 59788 ti = "16/59808/59788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59808/59788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59808 ÷ 216
    59808 ÷ 65536     		x = 0.91259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59788 ÷ 216
    59788 ÷ 65536     		y = 0.91229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    0.8251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59242753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.8245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59051005546783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59242753} λ = 2.59242753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59051005546783))-π/2
    2×atan(0.0749817854605039)-π/2
    2×0.0748417350303565-π/2
    0.149683470060713-1.57079632675     		φ = -1.42111286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59242753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42111286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.423769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59808 KachelY 59788 2.59242753 -1.42111286 148.535156 -81.423769
    Oben rechts KachelX + 1 59809 KachelY 59788 2.59252341 -1.42111286 148.540650 -81.423769
    Unten links KachelX 59808 KachelY + 1 59789 2.59242753 -1.42112715 148.535156 -81.424588
    Unten rechts KachelX + 1 59809 KachelY + 1 59789 2.59252341 -1.42112715 148.540650 -81.424588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42111286--1.42112715) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42111286--1.42112715) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59242753-2.59252341) × cos(-1.42111286) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149125146114065 × 6371000     		do = 91.0933162089334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59242753-2.59252341) × cos(-1.42112715) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149111015884897 × 6371000     		du = 91.0846847375329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42111286)-sin(-1.42112715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149125146114065-0.149111015884897)×R²
    abs(2.59252341-2.59242753)×1.41302291687961e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41302291687961e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41302291687961e-05×40589641000000     		ar = 8292.88743485717m²