Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59807 / 82771
↖ ↑ ↗
← S 42.720786°
W 15.735169°		 ← 224.39 m → S 42.720786°
W 15.732422°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.722804°
W 15.735169°		 ← 224.38 m →
50 349 m²		 S 42.722804°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456295013427734 y=0.631496429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456295013427734 × 217)
    floor (0.456295013427734 × 131072)
    floor (59807.5)     		tx = 59807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631496429443359 × 217)
    floor (0.631496429443359 × 131072)
    floor (82771.5)     		ty = 82771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59807 / 82771 ti = "17/59807/82771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59807/82771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59807 ÷ 217
    59807 ÷ 131072     		x = 0.456291198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82771 ÷ 217
    82771 ÷ 131072     		y = 0.631492614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456291198730469 × 2 - 1) × π
    -0.0874176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27463050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631492614746094 × 2 - 1) × π
    -0.262985229492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.826192464951668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27463050} λ = -0.27463050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826192464951668))-π/2
    2×atan(0.437712724051117)-π/2
    2×0.412588976360994-π/2
    0.825177952721988-1.57079632675     		φ = -0.74561837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27463050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.735169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74561837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.720786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59807 KachelY 82771 -0.27463050 -0.74561837 -15.735169 -42.720786
    Oben rechts KachelX + 1 59808 KachelY 82771 -0.27458256 -0.74561837 -15.732422 -42.720786
    Unten links KachelX 59807 KachelY + 1 82772 -0.27463050 -0.74565359 -15.735169 -42.722804
    Unten rechts KachelX + 1 59808 KachelY + 1 82772 -0.27458256 -0.74565359 -15.732422 -42.722804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74561837--0.74565359) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74561837--0.74565359) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27463050--0.27458256) × cos(-0.74561837) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734668524437641 × 6371000     		do = 224.386677731187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27463050--0.27458256) × cos(-0.74565359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734644629809916 × 6371000     		du = 224.379379696832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74561837)-sin(-0.74565359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734668524437641-0.734644629809916)×R²
    abs(-0.27458256--0.27463050)×2.38946277253405e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38946277253405e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38946277253405e-05×40589641000000     		ar = 50348.5494034973m²