Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59807 / 82365
↖ ↑ ↗
← S 41.896144°
W 15.735169°		 ← 227.35 m → S 41.896144°
W 15.732422°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
S 41.898189°
W 15.735169°		 ← 227.34 m →
51 679 m²		 S 41.898189°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456295013427734 y=0.628398895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456295013427734 × 217)
    floor (0.456295013427734 × 131072)
    floor (59807.5)     		tx = 59807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628398895263672 × 217)
    floor (0.628398895263672 × 131072)
    floor (82365.5)     		ty = 82365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59807 / 82365 ti = "17/59807/82365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59807/82365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59807 ÷ 217
    59807 ÷ 131072     		x = 0.456291198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82365 ÷ 217
    82365 ÷ 131072     		y = 0.628395080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456291198730469 × 2 - 1) × π
    -0.0874176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27463050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628395080566406 × 2 - 1) × π
    -0.256790161132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.806730083705925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27463050} λ = -0.27463050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806730083705925))-π/2
    2×atan(0.446315095746268)-π/2
    2×0.419785334825622-π/2
    0.839570669651244-1.57079632675     		φ = -0.73122566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27463050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.735169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73122566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.896144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59807 KachelY 82365 -0.27463050 -0.73122566 -15.735169 -41.896144
    Oben rechts KachelX + 1 59808 KachelY 82365 -0.27458256 -0.73122566 -15.732422 -41.896144
    Unten links KachelX 59807 KachelY + 1 82366 -0.27463050 -0.73126134 -15.735169 -41.898189
    Unten rechts KachelX + 1 59808 KachelY + 1 82366 -0.27458256 -0.73126134 -15.732422 -41.898189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73122566--0.73126134) × R
    3.56799999999824e-05 × 6371000     		dl = 227.317279999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73122566--0.73126134) × R
    3.56799999999824e-05 × 6371000     		dr = 227.317279999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27463050--0.27458256) × cos(-0.73122566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.744356487396442 × 6371000     		do = 227.345630986973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27463050--0.27458256) × cos(-0.73126134) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.744332660444313 × 6371000     		du = 227.338353622487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73122566)-sin(-0.73126134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744356487396442-0.744332660444313)×R²
    abs(-0.27458256--0.27463050)×2.38269521284362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38269521284362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38269521284362e-05×40589641000000     		ar = 51678.7633260605m²