Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59806 / 59803
↖ ↑ ↗
← S 81.436048°
E148.524170°		 ← 90.96 m → S 81.436048°
E148.529663°		 →
↑
90.98 m
↓
↑
90.98 m
↓
S 81.436866°
E148.524170°		 ← 90.96 m →
8 275 m²		 S 81.436866°
E148.529663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912574768066406 y=0.912528991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912574768066406 × 216)
    floor (0.912574768066406 × 65536)
    floor (59806.5)     		tx = 59806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912528991699219 × 216)
    floor (0.912528991699219 × 65536)
    floor (59803.5)     		ty = 59803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59806 / 59803 ti = "16/59806/59803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59806/59803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59806 ÷ 216
    59806 ÷ 65536     		x = 0.912567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59803 ÷ 216
    59803 ÷ 65536     		y = 0.912521362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912567138671875 × 2 - 1) × π
    0.82513427734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59223578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912521362304688 × 2 - 1) × π
    -0.825042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59194816245644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59223578} λ = 2.59223578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59194816245644))-π/2
    2×atan(0.0748740311305138)-π/2
    2×0.0747345822765412-π/2
    0.149469164553082-1.57079632675     		φ = -1.42132716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59223578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.524170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42132716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.436048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59806 KachelY 59803 2.59223578 -1.42132716 148.524170 -81.436048
    Oben rechts KachelX + 1 59807 KachelY 59803 2.59233166 -1.42132716 148.529663 -81.436048
    Unten links KachelX 59806 KachelY + 1 59804 2.59223578 -1.42134144 148.524170 -81.436866
    Unten rechts KachelX + 1 59807 KachelY + 1 59804 2.59233166 -1.42134144 148.529663 -81.436866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42132716--1.42134144) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dl = 90.9778800002112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42132716--1.42134144) × R
    1.42800000000332e-05 × 6371000     		dr = 90.9778800002112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59223578-2.59233166) × cos(-1.42132716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148913238923206 × 6371000     		do = 90.9638723877745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59223578-2.59233166) × cos(-1.42134144) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148899118126235 × 6371000     		du = 90.9552466780456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42132716)-sin(-1.42134144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148913238923206-0.148899118126235)×R²
    abs(2.59233166-2.59223578)×1.41207969717727e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41207969717727e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41207969717727e-05×40589641000000     		ar = 8275.30789206204m²