Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59804 / 85903
↖ ↑ ↗
← S 48.718149°
W 15.743408°		 ← 201.51 m → S 48.718149°
W 15.740662°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.719961°
W 15.743408°		 ← 201.50 m →
40 593 m²		 S 48.719961°
W 15.740662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456272125244141 y=0.655391693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456272125244141 × 217)
    floor (0.456272125244141 × 131072)
    floor (59804.5)     		tx = 59804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655391693115234 × 217)
    floor (0.655391693115234 × 131072)
    floor (85903.5)     		ty = 85903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59804 / 85903 ti = "17/59804/85903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59804/85903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59804 ÷ 217
    59804 ÷ 131072     		x = 0.456268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85903 ÷ 217
    85903 ÷ 131072     		y = 0.655387878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.08746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27477431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655387878417969 × 2 - 1) × π
    -0.310775756835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.976330834561684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27477431} λ = -0.27477431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976330834561684))-π/2
    2×atan(0.376690706821083)-π/2
    2×0.360252109244488-π/2
    0.720504218488977-1.57079632675     		φ = -0.85029211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27477431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.743408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85029211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.718149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59804 KachelY 85903 -0.27477431 -0.85029211 -15.743408 -48.718149
    Oben rechts KachelX + 1 59805 KachelY 85903 -0.27472637 -0.85029211 -15.740662 -48.718149
    Unten links KachelX 59804 KachelY + 1 85904 -0.27477431 -0.85032373 -15.743408 -48.719961
    Unten rechts KachelX + 1 59805 KachelY + 1 85904 -0.27472637 -0.85032373 -15.740662 -48.719961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85029211--0.85032373) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85029211--0.85032373) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27477431--0.27472637) × cos(-0.85029211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659763661211354 × 6371000     		do = 201.508804450688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27477431--0.27472637) × cos(-0.85032373) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65973989930019 × 6371000     		du = 201.501546951387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85029211)-sin(-0.85032373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659763661211354-0.65973989930019)×R²
    abs(-0.27472637--0.27477431)×2.3761911163267e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3761911163267e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3761911163267e-05×40589641000000     		ar = 40593.4231836282m²