Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59804 / 59164
↖ ↑ ↗
← S 80.897193°
E148.513184°		 ← 96.63 m → S 80.897193°
E148.518677°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
S 80.898062°
E148.513184°		 ← 96.62 m →
9 339 m²		 S 80.898062°
E148.518677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912544250488281 y=0.902778625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912544250488281 × 216)
    floor (0.912544250488281 × 65536)
    floor (59804.5)     		tx = 59804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902778625488281 × 216)
    floor (0.902778625488281 × 65536)
    floor (59164.5)     		ty = 59164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59804 / 59164 ti = "16/59804/59164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59804/59164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59804 ÷ 216
    59804 ÷ 65536     		x = 0.91253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59164 ÷ 216
    59164 ÷ 65536     		y = 0.90277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91253662109375 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59204404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.8055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.530684804742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59204404} λ = 2.59204404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.530684804742))-π/2
    2×atan(0.0796044880851488)-π/2
    2×0.0794369766406258-π/2
    0.158873953281252-1.57079632675     		φ = -1.41192237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59204404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.513184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41192237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.897193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59804 KachelY 59164 2.59204404 -1.41192237 148.513184 -80.897193
    Oben rechts KachelX + 1 59805 KachelY 59164 2.59213991 -1.41192237 148.518677 -80.897193
    Unten links KachelX 59804 KachelY + 1 59165 2.59204404 -1.41193754 148.513184 -80.898062
    Unten rechts KachelX + 1 59805 KachelY + 1 59165 2.59213991 -1.41193754 148.518677 -80.898062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41192237--1.41193754) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41192237--1.41193754) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59204404-2.59213991) × cos(-1.41192237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158206445269229 × 6371000     		do = 96.6305619056171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59204404-2.59213991) × cos(-1.41193754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158191466301146 × 6371000     		du = 96.6214129351051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41192237)-sin(-1.41193754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158206445269229-0.158191466301146)×R²
    abs(2.59213991-2.59204404)×1.49789680824186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49789680824186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49789680824186e-05×40589641000000     		ar = 9338.71519620903m²