Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59803 / 59171
↖ ↑ ↗
← S 80.903274°
E148.507690°		 ← 96.58 m → S 80.903274°
E148.513184°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
S 80.904143°
E148.507690°		 ← 96.57 m →
9 327 m²		 S 80.904143°
E148.513184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912528991699219 y=0.902885437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912528991699219 × 216)
    floor (0.912528991699219 × 65536)
    floor (59803.5)     		tx = 59803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902885437011719 × 216)
    floor (0.902885437011719 × 65536)
    floor (59171.5)     		ty = 59171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59803 / 59171 ti = "16/59803/59171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59803/59171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59803 ÷ 216
    59803 ÷ 65536     		x = 0.912521362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59171 ÷ 216
    59171 ÷ 65536     		y = 0.902877807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912521362304688 × 2 - 1) × π
    0.825042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59194816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.805755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53135592133669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59194816} λ = 2.59194816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53135592133669))-π/2
    2×atan(0.0795510821150047)-π/2
    2×0.0793839067422002-π/2
    0.1587678134844-1.57079632675     		φ = -1.41202851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59194816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41202851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.903274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59803 KachelY 59171 2.59194816 -1.41202851 148.507690 -80.903274
    Oben rechts KachelX + 1 59804 KachelY 59171 2.59204404 -1.41202851 148.513184 -80.903274
    Unten links KachelX 59803 KachelY + 1 59172 2.59194816 -1.41204367 148.507690 -80.904143
    Unten rechts KachelX + 1 59804 KachelY + 1 59172 2.59204404 -1.41204367 148.513184 -80.904143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41202851--1.41204367) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41202851--1.41204367) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59194816-2.59204404) × cos(-1.41202851) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.158101641099421 × 6371000     		do = 96.5766214563943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59194816-2.59204404) × cos(-1.41204367) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.158086671750953 × 6371000     		du = 96.5674774077275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41202851)-sin(-1.41204367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158101641099421-0.158086671750953)×R²
    abs(2.59204404-2.59194816)×1.49693484687852e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.49693484687852e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.49693484687852e-05×40589641000000     		ar = 9327.34958835014m²