Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59802 / 27011
↖ ↑ ↗
← N 72.071375°
W 15.748901°		 ← 94 m → N 72.071375°
W 15.746155°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 72.070530°
W 15.748901°		 ← 94 m →
8 834 m²		 N 72.070530°
W 15.746155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456256866455078 y=0.206081390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456256866455078 × 217)
    floor (0.456256866455078 × 131072)
    floor (59802.5)     		tx = 59802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206081390380859 × 217)
    floor (0.206081390380859 × 131072)
    floor (27011.5)     		ty = 27011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59802 / 27011 ti = "17/59802/27011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59802/27011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59802 ÷ 217
    59802 ÷ 131072     		x = 0.456253051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27011 ÷ 217
    27011 ÷ 131072     		y = 0.206077575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456253051757812 × 2 - 1) × π
    -0.087493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27487018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206077575683594 × 2 - 1) × π
    0.587844848632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.84676905786266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27487018} λ = -0.27487018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84676905786266))-π/2
    2×atan(6.3393044730358)-π/2
    2×1.41433956026662-π/2
    2.82867912053323-1.57079632675     		φ = 1.25788279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27487018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.748901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25788279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.071375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59802 KachelY 27011 -0.27487018 1.25788279 -15.748901 72.071375
    Oben rechts KachelX + 1 59803 KachelY 27011 -0.27482225 1.25788279 -15.746155 72.071375
    Unten links KachelX 59802 KachelY + 1 27012 -0.27487018 1.25786804 -15.748901 72.070530
    Unten rechts KachelX + 1 59803 KachelY + 1 27012 -0.27482225 1.25786804 -15.746155 72.070530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25788279-1.25786804) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25788279-1.25786804) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27487018--0.27482225) × cos(1.25788279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.307831996640585 × 6371000     		do = 94.0002033931798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27487018--0.27482225) × cos(1.25786804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.307846030357859 × 6371000     		du = 94.0044887575751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25788279)-sin(1.25786804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307831996640585-0.307846030357859)×R²
    abs(-0.27482225--0.27487018)×1.40337172740423e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40337172740423e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40337172740423e-05×40589641000000     		ar = 8833.6119661302m²