Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59801 / 82739
↖ ↑ ↗
← S 42.656182°
W 15.751648°		 ← 224.62 m → S 42.656182°
W 15.748901°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
S 42.658202°
W 15.751648°		 ← 224.61 m →
50 444 m²		 S 42.658202°
W 15.748901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456249237060547 y=0.631252288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456249237060547 × 217)
    floor (0.456249237060547 × 131072)
    floor (59801.5)     		tx = 59801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631252288818359 × 217)
    floor (0.631252288818359 × 131072)
    floor (82739.5)     		ty = 82739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59801 / 82739 ti = "17/59801/82739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59801/82739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59801 ÷ 217
    59801 ÷ 131072     		x = 0.456245422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82739 ÷ 217
    82739 ÷ 131072     		y = 0.631248474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456245422363281 × 2 - 1) × π
    -0.0875091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27491812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631248474121094 × 2 - 1) × π
    -0.262496948242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.824658484163826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27491812} λ = -0.27491812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824658484163826))-π/2
    2×atan(0.438384682214097)-π/2
    2×0.413152753248861-π/2
    0.826305506497723-1.57079632675     		φ = -0.74449082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27491812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.751648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74449082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.656182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59801 KachelY 82739 -0.27491812 -0.74449082 -15.751648 -42.656182
    Oben rechts KachelX + 1 59802 KachelY 82739 -0.27487018 -0.74449082 -15.748901 -42.656182
    Unten links KachelX 59801 KachelY + 1 82740 -0.27491812 -0.74452607 -15.751648 -42.658202
    Unten rechts KachelX + 1 59802 KachelY + 1 82740 -0.27487018 -0.74452607 -15.748901 -42.658202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74449082--0.74452607) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dl = 224.577750000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74449082--0.74452607) × R
    3.52500000000422e-05 × 6371000     		dr = 224.577750000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27491812--0.27487018) × cos(-0.74449082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735433016761859 × 6371000     		do = 224.620173364776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27491812--0.27487018) × cos(-0.74452607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735409130995527 × 6371000     		du = 224.612878036919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74449082)-sin(-0.74452607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735433016761859-0.735409130995527)×R²
    abs(-0.27487018--0.27491812)×2.38857663319436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38857663319436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38857663319436e-05×40589641000000     		ar = 50443.8739599469m²