Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59801 / 59055
↖ ↑ ↗
← S 80.801976°
E148.496704°		 ← 97.64 m → S 80.801976°
E148.502197°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 80.802854°
E148.496704°		 ← 97.63 m →
9 530 m²		 S 80.802854°
E148.502197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912498474121094 y=0.901115417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912498474121094 × 216)
    floor (0.912498474121094 × 65536)
    floor (59801.5)     		tx = 59801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901115417480469 × 216)
    floor (0.901115417480469 × 65536)
    floor (59055.5)     		ty = 59055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59801 / 59055 ti = "16/59801/59055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59801/59055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59801 ÷ 216
    59801 ÷ 65536     		x = 0.912490844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59055 ÷ 216
    59055 ÷ 65536     		y = 0.901107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912490844726562 × 2 - 1) × π
    0.824981689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59175641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901107788085938 × 2 - 1) × π
    -0.802215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52023456062483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59175641} λ = 2.59175641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52023456062483))-π/2
    2×atan(0.0804407363071174)-π/2
    2×0.0802679038744283-π/2
    0.160535807748857-1.57079632675     		φ = -1.41026052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59175641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.496704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41026052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.801976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59801 KachelY 59055 2.59175641 -1.41026052 148.496704 -80.801976
    Oben rechts KachelX + 1 59802 KachelY 59055 2.59185229 -1.41026052 148.502197 -80.801976
    Unten links KachelX 59801 KachelY + 1 59056 2.59175641 -1.41027584 148.496704 -80.802854
    Unten rechts KachelX + 1 59802 KachelY + 1 59056 2.59185229 -1.41027584 148.502197 -80.802854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41026052--1.41027584) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41026052--1.41027584) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59175641-2.59185229) × cos(-1.41026052) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159847146806231 × 6371000     		do = 97.6428662002992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59175641-2.59185229) × cos(-1.41027584) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159832023775436 × 6371000     		du = 97.633628274556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41026052)-sin(-1.41027584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159847146806231-0.159832023775436)×R²
    abs(2.59185229-2.59175641)×1.51230307948724e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51230307948724e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51230307948724e-05×40589641000000     		ar = 9529.85614483904m²