Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59800 / 35560
↖ ↑ ↗
← N 63.263299°
W 15.754395°		 ← 137.41 m → N 63.263299°
W 15.751648°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 63.262063°
W 15.754395°		 ← 137.41 m →
18 883 m²		 N 63.262063°
W 15.751648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456241607666016 y=0.271305084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456241607666016 × 217)
    floor (0.456241607666016 × 131072)
    floor (59800.5)     		tx = 59800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271305084228516 × 217)
    floor (0.271305084228516 × 131072)
    floor (35560.5)     		ty = 35560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59800 / 35560 ti = "17/59800/35560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59800/35560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59800 ÷ 217
    59800 ÷ 131072     		x = 0.45623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35560 ÷ 217
    35560 ÷ 131072     		y = 0.27130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27496606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27130126953125 × 2 - 1) × π
    0.4573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4369565030108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27496606} λ = -0.27496606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4369565030108))-π/2
    2×atan(4.20786967005559)-π/2
    2×1.33747459119005-π/2
    2.67494918238009-1.57079632675     		φ = 1.10415286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27496606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.754395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10415286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.263299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59800 KachelY 35560 -0.27496606 1.10415286 -15.754395 63.263299
    Oben rechts KachelX + 1 59801 KachelY 35560 -0.27491812 1.10415286 -15.751648 63.263299
    Unten links KachelX 59800 KachelY + 1 35561 -0.27496606 1.10413129 -15.754395 63.262063
    Unten rechts KachelX + 1 59801 KachelY + 1 35561 -0.27491812 1.10413129 -15.751648 63.262063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10415286-1.10413129) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10415286-1.10413129) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27496606--0.27491812) × cos(1.10415286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449891161256927 × 6371000     		do = 137.408340846425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27496606--0.27491812) × cos(1.10413129) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449910424961007 × 6371000     		du = 137.414224477499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10415286)-sin(1.10413129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449891161256927-0.449910424961007)×R²
    abs(-0.27491812--0.27496606)×1.92637040798971e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92637040798971e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92637040798971e-05×40589641000000     		ar = 18883.3978699761m²