Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59800 / 30215
↖ ↑ ↗
← N 69.155718°
W 15.754395°		 ← 108.68 m → N 69.155718°
W 15.751648°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 69.154740°
W 15.754395°		 ← 108.68 m →
11 813 m²		 N 69.154740°
W 15.751648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456241607666016 y=0.230525970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456241607666016 × 217)
    floor (0.456241607666016 × 131072)
    floor (59800.5)     		tx = 59800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230525970458984 × 217)
    floor (0.230525970458984 × 131072)
    floor (30215.5)     		ty = 30215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59800 / 30215 ti = "17/59800/30215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59800/30215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59800 ÷ 217
    59800 ÷ 131072     		x = 0.45623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30215 ÷ 217
    30215 ÷ 131072     		y = 0.230522155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.0875244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27496606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230522155761719 × 2 - 1) × π
    0.538955688476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.69317923148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27496606} λ = -0.27496606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69317923148))-π/2
    2×atan(5.43673790657767)-π/2
    2×1.38889564930146-π/2
    2.77779129860293-1.57079632675     		φ = 1.20699497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27496606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.754395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20699497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.155718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59800 KachelY 30215 -0.27496606 1.20699497 -15.754395 69.155718
    Oben rechts KachelX + 1 59801 KachelY 30215 -0.27491812 1.20699497 -15.751648 69.155718
    Unten links KachelX 59800 KachelY + 1 30216 -0.27496606 1.20697791 -15.754395 69.154740
    Unten rechts KachelX + 1 59801 KachelY + 1 30216 -0.27491812 1.20697791 -15.751648 69.154740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20699497-1.20697791) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20699497-1.20697791) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27496606--0.27491812) × cos(1.20699497) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35582935722336 × 6371000     		do = 108.679444743724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27496606--0.27491812) × cos(1.20697791) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355845300610698 × 6371000     		du = 108.684314264599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20699497)-sin(1.20697791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35582935722336-0.355845300610698)×R²
    abs(-0.27491812--0.27496606)×1.59433873376247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59433873376247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59433873376247e-05×40589641000000     		ar = 11812.5530590301m²