Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5980 / 6850
↖ ↑ ↗
← N 28.265682°
W 48.603516°		 ← 2 151.94 m → N 28.265682°
W 48.581543°		 →
↑
2 152.12 m
↓
↑
2 152.12 m
↓
N 28.246328°
W 48.603516°		 ← 2 152.34 m →
4 631 672 m²		 N 28.246328°
W 48.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365020751953125 y=0.418121337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365020751953125 × 214)
    floor (0.365020751953125 × 16384)
    floor (5980.5)     		tx = 5980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418121337890625 × 214)
    floor (0.418121337890625 × 16384)
    floor (6850.5)     		ty = 6850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5980 / 6850 ti = "14/5980/6850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5980/6850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5980 ÷ 214
    5980 ÷ 16384     		x = 0.364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6850 ÷ 214
    6850 ÷ 16384     		y = 0.4180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84829138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    0.163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.514650554320923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84829138} λ = -0.84829138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514650554320923))-π/2
    2×atan(1.67305375822875)-π/2
    2×1.03206277490649-π/2
    2.06412554981298-1.57079632675     		φ = 0.49332922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84829138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.603516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49332922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.265682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5980 KachelY 6850 -0.84829138 0.49332922 -48.603516 28.265682
    Oben rechts KachelX + 1 5981 KachelY 6850 -0.84790788 0.49332922 -48.581543 28.265682
    Unten links KachelX 5980 KachelY + 1 6851 -0.84829138 0.49299142 -48.603516 28.246328
    Unten rechts KachelX + 1 5981 KachelY + 1 6851 -0.84790788 0.49299142 -48.581543 28.246328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49332922-0.49299142) × R
    0.000337799999999999 × 6371000     		dl = 2152.12379999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49332922-0.49299142) × R
    0.000337799999999999 × 6371000     		dr = 2152.12379999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84829138--0.84790788) × cos(0.49332922) × R
    0.000383500000000092 × 0.880761154630661 × 6371000     		do = 2151.94479274479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84829138--0.84790788) × cos(0.49299142) × R
    0.000383500000000092 × 0.880921073199276 × 6371000     		du = 2152.33551834523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49332922)-sin(0.49299142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880761154630661-0.880921073199276)×R²
    abs(-0.84790788--0.84829138)×0.000159918568615192×R²
    0.000383500000000092×0.000159918568615192×6371000²
    0.000383500000000092×0.000159918568615192×40589641000000     		ar = 4631672.093727m²