Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 598 / 483
↖ ↑ ↗
← N 10.141932°
E 30.234375°		 ← 38.481 km → N 10.141932°
E 30.585937°		 →
↑
38.502 km
↓
↑
38.502 km
↓
N  9.795678°
E 30.234375°		 ← 38.522 km →
1 482.38 km²		 N  9.795678°
E 30.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58447265625 y=0.47216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58447265625 × 210)
    floor (0.58447265625 × 1024)
    floor (598.5)     		tx = 598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47216796875 × 210)
    floor (0.47216796875 × 1024)
    floor (483.5)     		ty = 483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 598 / 483 ti = "10/598/483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/598/483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 598 ÷ 210
    598 ÷ 1024     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 483 ÷ 210
    483 ÷ 1024     		y = 0.4716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    0.056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.177941771389648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177941771389648))-π/2
    2×atan(1.19475575024226)-π/2
    2×0.873903213612608-π/2
    1.74780642722522-1.57079632675     		φ = 0.17701010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17701010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.141932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 598 KachelY 483 0.52768939 0.17701010 30.234375 10.141932
    Oben rechts KachelX + 1 599 KachelY 483 0.53382531 0.17701010 30.585937 10.141932
    Unten links KachelX 598 KachelY + 1 484 0.52768939 0.17096683 30.234375 9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 599 KachelY + 1 484 0.53382531 0.17096683 30.585937 9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17701010-0.17096683) × R
    0.00604327000000002 × 6371000     		dl = 38501.6731700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17701010-0.17096683) × R
    0.00604327000000002 × 6371000     		dr = 38501.6731700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.53382531) × cos(0.17701010) × R
    0.00613591999999996 × 0.984374574979126 × 6371000     		do = 38481.1180438565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.53382531) × cos(0.17096683) × R
    0.00613591999999996 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 38522.0145034513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17701010)-sin(0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984374574979126-0.9854207357218)×R²
    abs(0.53382531-0.52768939)×0.00104616074267483×R²
    0.00613591999999996×0.00104616074267483×6371000²
    0.00613591999999996×0.00104616074267483×40589641000000     		ar = 1482379232.7156m²