Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 598 / 462
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
E 30.234375°		 ← 37.322 km → N 17.308688°
E 30.585937°		 →
↑
37.356 km
↓
↑
37.356 km
↓
N 16.972741°
E 30.234375°		 ← 37.389 km →
1 395.44 km²		 N 16.972741°
E 30.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58447265625 y=0.45166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58447265625 × 210)
    floor (0.58447265625 × 1024)
    floor (598.5)     		tx = 598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45166015625 × 210)
    floor (0.45166015625 × 1024)
    floor (462.5)     		ty = 462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 598 / 462 ti = "10/598/462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/598/462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 598 ÷ 210
    598 ÷ 1024     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 462 ÷ 210
    462 ÷ 1024     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 598 KachelY 462 0.52768939 0.30209359 30.234375 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 599 KachelY 462 0.53382531 0.30209359 30.585937 17.308688
    Unten links KachelX 598 KachelY + 1 463 0.52768939 0.29623021 30.234375 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 599 KachelY + 1 463 0.53382531 0.29623021 30.585937 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.29623021) × R
    0.00586338000000003 × 6371000     		dl = 37355.5939800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.29623021) × R
    0.00586338000000003 × 6371000     		dr = 37355.5939800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.53382531) × cos(0.30209359) × R
    0.00613591999999996 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 37321.6948073853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.53382531) × cos(0.29623021) × R
    0.00613591999999996 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 37389.247628339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.956443747320158)×R²
    abs(0.53382531-0.52768939)×0.00172804956808115×R²
    0.00613591999999996×0.00172804956808115×6371000²
    0.00613591999999996×0.00172804956808115×40589641000000     		ar = 1395439813.59327m²