Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 598 / 368
↖ ↑ ↗
← N 81.308321°
W127.441406°		 ← 1 476.87 m → N 81.308321°
W127.353516°		 →
↑
1 478.01 m
↓
↑
1 478.01 m
↓
N 81.295029°
W127.441406°		 ← 1 479.11 m →
2 184 478 m²		 N 81.295029°
W127.353516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1461181640625 y=0.0899658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1461181640625 × 212)
    floor (0.1461181640625 × 4096)
    floor (598.5)     		tx = 598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0899658203125 × 212)
    floor (0.0899658203125 × 4096)
    floor (368.5)     		ty = 368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 598 / 368 ti = "12/598/368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/598/368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 598 ÷ 212
    598 ÷ 4096     		x = 0.14599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 368 ÷ 212
    368 ÷ 4096     		y = 0.08984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22427214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08984375 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22427214} λ = -2.22427214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57708772357422))-π/2
    2×atan(13.1587603558195)-π/2
    2×1.49494711788296-π/2
    2.98989423576593-1.57079632675     		φ = 1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22427214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 598 KachelY 368 -2.22427214 1.41909791 -127.441406 81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 599 KachelY 368 -2.22273816 1.41909791 -127.353516 81.308321
    Unten links KachelX 598 KachelY + 1 369 -2.22427214 1.41886592 -127.441406 81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 599 KachelY + 1 369 -2.22273816 1.41886592 -127.353516 81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909791-1.41886592) × R
    0.000231990000000071 × 6371000     		dl = 1478.00829000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909791-1.41886592) × R
    0.000231990000000071 × 6371000     		dr = 1478.00829000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22427214--2.22273816) × cos(1.41909791) × R
    0.00153398000000005 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 1476.86696899052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22427214--2.22273816) × cos(1.41886592) × R
    0.00153398000000005 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 1479.10812710221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909791)-sin(1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.151346583257271)×R²
    abs(-2.22273816--2.22427214)×0.000229321722008236×R²
    0.00153398000000005×0.000229321722008236×6371000²
    0.00153398000000005×0.000229321722008236×40589641000000     		ar = 2184477.8583247m²