Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59799 / 59174
↖ ↑ ↗
← S 80.905879°
E148.485718°		 ← 96.54 m → S 80.905879°
E148.491211°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
S 80.906747°
E148.485718°		 ← 96.53 m →
9 318 m²		 S 80.906747°
E148.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912467956542969 y=0.902931213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912467956542969 × 216)
    floor (0.912467956542969 × 65536)
    floor (59799.5)     		tx = 59799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902931213378906 × 216)
    floor (0.902931213378906 × 65536)
    floor (59174.5)     		ty = 59174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59799 / 59174 ti = "16/59799/59174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59799/59174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59799 ÷ 216
    59799 ÷ 65536     		x = 0.912460327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59174 ÷ 216
    59174 ÷ 65536     		y = 0.902923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912460327148438 × 2 - 1) × π
    0.824920654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59156467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.80584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53164354273441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59156467} λ = 2.59156467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53164354273441))-π/2
    2×atan(0.0795282048117352)-π/2
    2×0.0793611732635322-π/2
    0.158722346527064-1.57079632675     		φ = -1.41207398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59156467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.485718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41207398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.905879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59799 KachelY 59174 2.59156467 -1.41207398 148.485718 -80.905879
    Oben rechts KachelX + 1 59800 KachelY 59174 2.59166054 -1.41207398 148.491211 -80.905879
    Unten links KachelX 59799 KachelY + 1 59175 2.59156467 -1.41208913 148.485718 -80.906747
    Unten rechts KachelX + 1 59800 KachelY + 1 59175 2.59166054 -1.41208913 148.491211 -80.906747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41207398--1.41208913) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41207398--1.41208913) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59156467-2.59166054) × cos(-1.41207398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158056742819322 × 6371000     		do = 96.5391254800749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59156467-2.59166054) × cos(-1.41208913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158041783236214 × 6371000     		du = 96.5299883496686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41207398)-sin(-1.41208913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158056742819322-0.158041783236214)×R²
    abs(2.59166054-2.59156467)×1.49595831074045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49595831074045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49595831074045e-05×40589641000000     		ar = 9317.57818090074m²