Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59799 / 59096
↖ ↑ ↗
← S 80.837907°
E148.485718°		 ← 97.25 m → S 80.837907°
E148.491211°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
S 80.838781°
E148.485718°		 ← 97.25 m →
9 461 m²		 S 80.838781°
E148.491211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912467956542969 y=0.901741027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912467956542969 × 216)
    floor (0.912467956542969 × 65536)
    floor (59799.5)     		tx = 59799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901741027832031 × 216)
    floor (0.901741027832031 × 65536)
    floor (59096.5)     		ty = 59096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59799 / 59096 ti = "16/59799/59096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59799/59096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59799 ÷ 216
    59799 ÷ 65536     		x = 0.912460327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59096 ÷ 216
    59096 ÷ 65536     		y = 0.9017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912460327148438 × 2 - 1) × π
    0.824920654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59156467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52416538639368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59156467} λ = 2.59156467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52416538639368))-π/2
    2×atan(0.0801251584351352)-π/2
    2×0.0799543469893647-π/2
    0.159908693978729-1.57079632675     		φ = -1.41088763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59156467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.485718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41088763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.837907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59799 KachelY 59096 2.59156467 -1.41088763 148.485718 -80.837907
    Oben rechts KachelX + 1 59800 KachelY 59096 2.59166054 -1.41088763 148.491211 -80.837907
    Unten links KachelX 59799 KachelY + 1 59097 2.59156467 -1.41090290 148.485718 -80.838781
    Unten rechts KachelX + 1 59800 KachelY + 1 59097 2.59166054 -1.41090290 148.491211 -80.838781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41088763--1.41090290) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41088763--1.41090290) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59156467-2.59166054) × cos(-1.41088763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159228068935173 × 6371000     		do = 97.2545571463187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59156467-2.59166054) × cos(-1.41090290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159212993733934 × 6371000     		du = 97.2453493977716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41088763)-sin(-1.41090290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159228068935173-0.159212993733934)×R²
    abs(2.59166054-2.59156467)×1.5075201239001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5075201239001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5075201239001e-05×40589641000000     		ar = 9460.97823679695m²