Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59799 / 27514
↖ ↑ ↗
← N 71.641184°
W 15.757141°		 ← 96.18 m → N 71.641184°
W 15.754395°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
N 71.640319°
W 15.757141°		 ← 96.18 m →
9 253 m²		 N 71.640319°
W 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456233978271484 y=0.209918975830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456233978271484 × 217)
    floor (0.456233978271484 × 131072)
    floor (59799.5)     		tx = 59799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209918975830078 × 217)
    floor (0.209918975830078 × 131072)
    floor (27514.5)     		ty = 27514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59799 / 27514 ti = "17/59799/27514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59799/27514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59799 ÷ 217
    59799 ÷ 131072     		x = 0.456230163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27514 ÷ 217
    27514 ÷ 131072     		y = 0.209915161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456230163574219 × 2 - 1) × π
    -0.0875396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27501399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209915161132812 × 2 - 1) × π
    0.580169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82265679735378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27501399} λ = -0.27501399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82265679735378))-π/2
    2×atan(6.18827762863842)-π/2
    2×1.41058543455743-π/2
    2.82117086911486-1.57079632675     		φ = 1.25037454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27501399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.757141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25037454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.641184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59799 KachelY 27514 -0.27501399 1.25037454 -15.757141 71.641184
    Oben rechts KachelX + 1 59800 KachelY 27514 -0.27496606 1.25037454 -15.754395 71.641184
    Unten links KachelX 59799 KachelY + 1 27515 -0.27501399 1.25035944 -15.757141 71.640319
    Unten rechts KachelX + 1 59800 KachelY + 1 27515 -0.27496606 1.25035944 -15.754395 71.640319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25037454-1.25035944) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dl = 96.2020999995834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25037454-1.25035944) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dr = 96.2020999995834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27501399--0.27496606) × cos(1.25037454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.314966907587502 × 6371000     		do = 96.1789342836894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27501399--0.27496606) × cos(1.25035944) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.314981239001663 × 6371000     		du = 96.1833105534105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25037454)-sin(1.25035944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314966907587502-0.314981239001663)×R²
    abs(-0.27496606--0.27501399)×1.43314141613504e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.43314141613504e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.43314141613504e-05×40589641000000     		ar = 9252.82595714046m²