Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59797 / 35564
↖ ↑ ↗
← N 63.258355°
W 15.762634°		 ← 137.43 m → N 63.258355°
W 15.759888°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 63.257119°
W 15.762634°		 ← 137.44 m →
18 887 m²		 N 63.257119°
W 15.759888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456218719482422 y=0.271335601806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456218719482422 × 217)
    floor (0.456218719482422 × 131072)
    floor (59797.5)     		tx = 59797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271335601806641 × 217)
    floor (0.271335601806641 × 131072)
    floor (35564.5)     		ty = 35564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59797 / 35564 ti = "17/59797/35564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59797/35564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59797 ÷ 217
    59797 ÷ 131072     		x = 0.456214904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35564 ÷ 217
    35564 ÷ 131072     		y = 0.271331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456214904785156 × 2 - 1) × π
    -0.0875701904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27510987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271331787109375 × 2 - 1) × π
    0.45733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43676475541232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27510987} λ = -0.27510987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43676475541232))-π/2
    2×atan(4.20706289850236)-π/2
    2×1.33743145472147-π/2
    2.67486290944293-1.57079632675     		φ = 1.10406658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27510987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.762634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10406658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.258355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59797 KachelY 35564 -0.27510987 1.10406658 -15.762634 63.258355
    Oben rechts KachelX + 1 59798 KachelY 35564 -0.27506193 1.10406658 -15.759888 63.258355
    Unten links KachelX 59797 KachelY + 1 35565 -0.27510987 1.10404501 -15.762634 63.257119
    Unten rechts KachelX + 1 59798 KachelY + 1 35565 -0.27506193 1.10404501 -15.759888 63.257119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10406658-1.10404501) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10406658-1.10404501) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27510987--0.27506193) × cos(1.10406658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449968214817246 × 6371000     		do = 137.431874986946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27510987--0.27506193) × cos(1.10404501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449987477683962 × 6371000     		du = 137.437758362267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10406658)-sin(1.10404501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449968214817246-0.449987477683962)×R²
    abs(-0.27506193--0.27510987)×1.92628667159966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92628667159966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92628667159966e-05×40589641000000     		ar = 18886.631971948m²