Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59796 / 59234
↖ ↑ ↗
← S 80.957825°
E148.469239°		 ← 95.99 m → S 80.957825°
E148.474731°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
S 80.958689°
E148.469239°		 ← 95.98 m →
9 216 m²		 S 80.958689°
E148.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912422180175781 y=0.903846740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912422180175781 × 216)
    floor (0.912422180175781 × 65536)
    floor (59796.5)     		tx = 59796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903846740722656 × 216)
    floor (0.903846740722656 × 65536)
    floor (59234.5)     		ty = 59234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59796 / 59234 ti = "16/59796/59234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59796/59234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59796 ÷ 216
    59796 ÷ 65536     		x = 0.91241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59234 ÷ 216
    59234 ÷ 65536     		y = 0.903839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    0.8248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59127705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.80767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53739597068881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59127705} λ = 2.59127705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53739597068881))-π/2
    2×atan(0.079072037834943)-π/2
    2×0.078907856978055-π/2
    0.15781571395611-1.57079632675     		φ = -1.41298061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59127705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41298061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.957825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59796 KachelY 59234 2.59127705 -1.41298061 148.469239 -80.957825
    Oben rechts KachelX + 1 59797 KachelY 59234 2.59137292 -1.41298061 148.474731 -80.957825
    Unten links KachelX 59796 KachelY + 1 59235 2.59127705 -1.41299568 148.469239 -80.958689
    Unten rechts KachelX + 1 59797 KachelY + 1 59235 2.59137292 -1.41299568 148.474731 -80.958689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41298061--1.41299568) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dl = 96.010970000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41298061--1.41299568) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dr = 96.010970000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59127705-2.59137292) × cos(-1.41298061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157161444293418 × 6371000     		do = 95.9922880899538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59127705-2.59137292) × cos(-1.41299568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157146561551606 × 6371000     		du = 95.983197893271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41298061)-sin(-1.41299568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157161444293418-0.157146561551606)×R²
    abs(2.59137292-2.59127705)×1.48827418119113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48827418119113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48827418119113e-05×40589641000000     		ar = 9215.87631303419m²