Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59796 / 59220
↖ ↑ ↗
← S 80.945731°
E148.469239°		 ← 96.12 m → S 80.945731°
E148.474731°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
S 80.946596°
E148.469239°		 ← 96.11 m →
9 234 m²		 S 80.946596°
E148.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912422180175781 y=0.903633117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912422180175781 × 216)
    floor (0.912422180175781 × 65536)
    floor (59796.5)     		tx = 59796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903633117675781 × 216)
    floor (0.903633117675781 × 65536)
    floor (59220.5)     		ty = 59220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59796 / 59220 ti = "16/59796/59220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59796/59220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59796 ÷ 216
    59796 ÷ 65536     		x = 0.91241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59220 ÷ 216
    59220 ÷ 65536     		y = 0.90362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    0.8248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59127705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.8072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53605373749945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59127705} λ = 2.59127705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53605373749945))-π/2
    2×atan(0.079178242208048)-π/2
    2×0.0790134005650631-π/2
    0.158026801130126-1.57079632675     		φ = -1.41276953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59127705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41276953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.945731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59796 KachelY 59220 2.59127705 -1.41276953 148.469239 -80.945731
    Oben rechts KachelX + 1 59797 KachelY 59220 2.59137292 -1.41276953 148.474731 -80.945731
    Unten links KachelX 59796 KachelY + 1 59221 2.59127705 -1.41278461 148.469239 -80.946596
    Unten rechts KachelX + 1 59797 KachelY + 1 59221 2.59137292 -1.41278461 148.474731 -80.946596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41276953--1.41278461) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41276953--1.41278461) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59127705-2.59137292) × cos(-1.41276953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157369897683544 × 6371000     		do = 96.1196088712582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59127705-2.59137292) × cos(-1.41278461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157355005566546 × 6371000     		du = 96.1105129483262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41276953)-sin(-1.41278461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157369897683544-0.157355005566546)×R²
    abs(2.59137292-2.59127705)×1.48921169982608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48921169982608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48921169982608e-05×40589641000000     		ar = 9234.22372027026m²