Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59795 / 85137
↖ ↑ ↗
← S 47.310897°
W 15.768127°		 ← 207.08 m → S 47.310897°
W 15.765381°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
S 47.312759°
W 15.768127°		 ← 207.08 m →
42 878 m²		 S 47.312759°
W 15.765381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456203460693359 y=0.649547576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456203460693359 × 217)
    floor (0.456203460693359 × 131072)
    floor (59795.5)     		tx = 59795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649547576904297 × 217)
    floor (0.649547576904297 × 131072)
    floor (85137.5)     		ty = 85137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59795 / 85137 ti = "17/59795/85137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59795/85137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59795 ÷ 217
    59795 ÷ 131072     		x = 0.456199645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85137 ÷ 217
    85137 ÷ 131072     		y = 0.649543762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456199645996094 × 2 - 1) × π
    -0.0876007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27520574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649543762207031 × 2 - 1) × π
    -0.299087524414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.939611169452721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27520574} λ = -0.27520574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939611169452721))-π/2
    2×atan(0.390779752926708)-π/2
    2×0.372532705253525-π/2
    0.74506541050705-1.57079632675     		φ = -0.82573092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27520574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.768127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82573092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.310897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59795 KachelY 85137 -0.27520574 -0.82573092 -15.768127 -47.310897
    Oben rechts KachelX + 1 59796 KachelY 85137 -0.27515780 -0.82573092 -15.765381 -47.310897
    Unten links KachelX 59795 KachelY + 1 85138 -0.27520574 -0.82576342 -15.768127 -47.312759
    Unten rechts KachelX + 1 59796 KachelY + 1 85138 -0.27515780 -0.82576342 -15.765381 -47.312759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82573092--0.82576342) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82573092--0.82576342) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27520574--0.27515780) × cos(-0.82573092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678019888749144 × 6371000     		do = 207.084726255789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27520574--0.27515780) × cos(-0.82576342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.677995999475472 × 6371000     		du = 207.0774298567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82573092)-sin(-0.82576342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678019888749144-0.677995999475472)×R²
    abs(-0.27515780--0.27520574)×2.38892736725838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38892736725838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38892736725838e-05×40589641000000     		ar = 42877.6903233471m²