Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59795 / 59221
↖ ↑ ↗
← S 80.946596°
E148.463745°		 ← 96.12 m → S 80.946596°
E148.469239°		 →
↑
96.14 m
↓
↑
96.14 m
↓
S 80.947460°
E148.463745°		 ← 96.11 m →
9 240 m²		 S 80.947460°
E148.469239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912406921386719 y=0.903648376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912406921386719 × 216)
    floor (0.912406921386719 × 65536)
    floor (59795.5)     		tx = 59795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903648376464844 × 216)
    floor (0.903648376464844 × 65536)
    floor (59221.5)     		ty = 59221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59795 / 59221 ti = "16/59795/59221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59795/59221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59795 ÷ 216
    59795 ÷ 65536     		x = 0.912399291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59221 ÷ 216
    59221 ÷ 65536     		y = 0.903640747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912399291992188 × 2 - 1) × π
    0.824798583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59118117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903640747070312 × 2 - 1) × π
    -0.807281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53614961129869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59118117} λ = 2.59118117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53614961129869))-π/2
    2×atan(0.0791706514530335)-π/2
    2×0.0790058570969801-π/2
    0.15801171419396-1.57079632675     		φ = -1.41278461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59118117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.463745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41278461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.946596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59795 KachelY 59221 2.59118117 -1.41278461 148.463745 -80.946596
    Oben rechts KachelX + 1 59796 KachelY 59221 2.59127705 -1.41278461 148.469239 -80.946596
    Unten links KachelX 59795 KachelY + 1 59222 2.59118117 -1.41279970 148.463745 -80.947460
    Unten rechts KachelX + 1 59796 KachelY + 1 59222 2.59127705 -1.41279970 148.469239 -80.947460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41278461--1.41279970) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dl = 96.1383899999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41278461--1.41279970) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dr = 96.1383899999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59118117-2.59127705) × cos(-1.41278461) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157355005566546 × 6371000     		do = 96.12053803567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59118117-2.59127705) × cos(-1.41279970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15734010353832 × 6371000     		du = 96.1114351096728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41278461)-sin(-1.41279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157355005566546-0.15734010353832)×R²
    abs(2.59127705-2.59118117)×1.49020282264878e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49020282264878e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49020282264878e-05×40589641000000     		ar = 9240.43620220751m²