Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59794 / 85139
↖ ↑ ↗
← S 47.314621°
W 15.770874°		 ← 207.07 m → S 47.314621°
W 15.768127°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
S 47.316483°
W 15.770874°		 ← 207.06 m →
42 875 m²		 S 47.316483°
W 15.768127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456195831298828 y=0.649562835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456195831298828 × 217)
    floor (0.456195831298828 × 131072)
    floor (59794.5)     		tx = 59794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649562835693359 × 217)
    floor (0.649562835693359 × 131072)
    floor (85139.5)     		ty = 85139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59794 / 85139 ti = "17/59794/85139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59794/85139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59794 ÷ 217
    59794 ÷ 131072     		x = 0.456192016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85139 ÷ 217
    85139 ÷ 131072     		y = 0.649559020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456192016601562 × 2 - 1) × π
    -0.087615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27525368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649559020996094 × 2 - 1) × π
    -0.299118041992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.939707043251961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27525368} λ = -0.27525368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939707043251961))-π/2
    2×atan(0.390742289183053)-π/2
    2×0.37250020422728-π/2
    0.745000408454559-1.57079632675     		φ = -0.82579592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27525368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.770874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82579592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.314621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59794 KachelY 85139 -0.27525368 -0.82579592 -15.770874 -47.314621
    Oben rechts KachelX + 1 59795 KachelY 85139 -0.27520574 -0.82579592 -15.768127 -47.314621
    Unten links KachelX 59794 KachelY + 1 85140 -0.27525368 -0.82582842 -15.770874 -47.316483
    Unten rechts KachelX + 1 59795 KachelY + 1 85140 -0.27520574 -0.82582842 -15.768127 -47.316483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82579592--0.82582842) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82579592--0.82582842) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27525368--0.27520574) × cos(-0.82579592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677972109485666 × 6371000     		do = 207.070133239125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27525368--0.27520574) × cos(-0.82582842) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677948218779752 × 6371000     		du = 207.062836402592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82579592)-sin(-0.82582842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677972109485666-0.677948218779752)×R²
    abs(-0.27520574--0.27525368)×2.38907059139093e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38907059139093e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38907059139093e-05×40589641000000     		ar = 42874.6686843795m²