Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59794 / 59243
↖ ↑ ↗
← S 80.965592°
E148.458252°		 ← 95.91 m → S 80.965592°
E148.463745°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
S 80.966455°
E148.458252°		 ← 95.90 m →
9 202 m²		 S 80.966455°
E148.463745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912391662597656 y=0.903984069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912391662597656 × 216)
    floor (0.912391662597656 × 65536)
    floor (59794.5)     		tx = 59794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903984069824219 × 216)
    floor (0.903984069824219 × 65536)
    floor (59243.5)     		ty = 59243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59794 / 59243 ti = "16/59794/59243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59794/59243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59794 ÷ 216
    59794 ÷ 65536     		x = 0.912384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59243 ÷ 216
    59243 ÷ 65536     		y = 0.903976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912384033203125 × 2 - 1) × π
    0.82476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59108530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.807952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53825883488197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59108530} λ = 2.59108530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53825883488197))-π/2
    2×atan(0.0790038388322851)-π/2
    2×0.0788400813693585-π/2
    0.157680162738717-1.57079632675     		φ = -1.41311616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59108530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41311616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.965592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59794 KachelY 59243 2.59108530 -1.41311616 148.458252 -80.965592
    Oben rechts KachelX + 1 59795 KachelY 59243 2.59118117 -1.41311616 148.463745 -80.965592
    Unten links KachelX 59794 KachelY + 1 59244 2.59108530 -1.41313122 148.458252 -80.966455
    Unten rechts KachelX + 1 59795 KachelY + 1 59244 2.59118117 -1.41313122 148.463745 -80.966455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41311616--1.41313122) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41311616--1.41313122) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59108530-2.59118117) × cos(-1.41311616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157027577340139 × 6371000     		do = 95.9105237920837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59108530-2.59118117) × cos(-1.41313122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157012704153405 × 6371000     		du = 95.9014394315258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41311616)-sin(-1.41313122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157027577340139-0.157012704153405)×R²
    abs(2.59118117-2.59108530)×1.48731867337104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48731867337104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48731867337104e-05×40589641000000     		ar = 9201.91615309562m²