Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59794 / 27538
↖ ↑ ↗
← N 71.620411°
W 15.770874°		 ← 96.30 m → N 71.620411°
W 15.768127°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.619544°
W 15.770874°		 ← 96.31 m →
9 277 m²		 N 71.619544°
W 15.768127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456195831298828 y=0.210102081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456195831298828 × 217)
    floor (0.456195831298828 × 131072)
    floor (59794.5)     		tx = 59794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210102081298828 × 217)
    floor (0.210102081298828 × 131072)
    floor (27538.5)     		ty = 27538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59794 / 27538 ti = "17/59794/27538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59794/27538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59794 ÷ 217
    59794 ÷ 131072     		x = 0.456192016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27538 ÷ 217
    27538 ÷ 131072     		y = 0.210098266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456192016601562 × 2 - 1) × π
    -0.087615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27525368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210098266601562 × 2 - 1) × π
    0.579803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82150631176289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27525368} λ = -0.27525368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82150631176289))-π/2
    2×atan(6.18116219827919)-π/2
    2×1.41040415316309-π/2
    2.82080830632618-1.57079632675     		φ = 1.25001198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27525368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.770874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25001198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.620411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59794 KachelY 27538 -0.27525368 1.25001198 -15.770874 71.620411
    Oben rechts KachelX + 1 59795 KachelY 27538 -0.27520574 1.25001198 -15.768127 71.620411
    Unten links KachelX 59794 KachelY + 1 27539 -0.27525368 1.24999686 -15.770874 71.619544
    Unten rechts KachelX + 1 59795 KachelY + 1 27539 -0.27520574 1.24999686 -15.768127 71.619544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25001198-1.24999686) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25001198-1.24999686) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27525368--0.27520574) × cos(1.25001198) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315310993536901 × 6371000     		do = 96.3040935311917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27525368--0.27520574) × cos(1.24999686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315325342205419 × 6371000     		du = 96.3084759838917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25001198)-sin(1.24999686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315310993536901-0.315325342205419)×R²
    abs(-0.27520574--0.27525368)×1.43486685175165e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43486685175165e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43486685175165e-05×40589641000000     		ar = 9277.13818393011m²