Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59793 / 85140
↖ ↑ ↗
← S 47.316483°
W 15.773620°		 ← 207.02 m → S 47.316483°
W 15.770874°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
S 47.318345°
W 15.773620°		 ← 207.01 m →
42 864 m²		 S 47.318345°
W 15.770874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456188201904297 y=0.649570465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456188201904297 × 217)
    floor (0.456188201904297 × 131072)
    floor (59793.5)     		tx = 59793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649570465087891 × 217)
    floor (0.649570465087891 × 131072)
    floor (85140.5)     		ty = 85140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59793 / 85140 ti = "17/59793/85140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59793/85140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59793 ÷ 217
    59793 ÷ 131072     		x = 0.456184387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85140 ÷ 217
    85140 ÷ 131072     		y = 0.649566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456184387207031 × 2 - 1) × π
    -0.0876312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27530161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.29913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.939754980151581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27530161} λ = -0.27530161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.939754980151581))-π/2
    2×atan(0.390723558658104)-π/2
    2×0.372483954573077-π/2
    0.744967909146155-1.57079632675     		φ = -0.82582842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27530161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.773620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82582842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.316483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59793 KachelY 85140 -0.27530161 -0.82582842 -15.773620 -47.316483
    Oben rechts KachelX + 1 59794 KachelY 85140 -0.27525368 -0.82582842 -15.770874 -47.316483
    Unten links KachelX 59793 KachelY + 1 85141 -0.27530161 -0.82586092 -15.773620 -47.318345
    Unten rechts KachelX + 1 59794 KachelY + 1 85141 -0.27525368 -0.82586092 -15.770874 -47.318345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82582842--0.82586092) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82582842--0.82586092) × R
    3.24999999999909e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27530161--0.27525368) × cos(-0.82582842) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677948218779752 × 6371000     		do = 207.019644321356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27530161--0.27525368) × cos(-0.82586092) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677924327357755 × 6371000     		du = 207.012348788236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82582842)-sin(-0.82586092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677948218779752-0.677924327357755)×R²
    abs(-0.27525368--0.27530161)×2.38914219966579e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38914219966579e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38914219966579e-05×40589641000000     		ar = 42864.2147104742m²