Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59793 / 59217
↖ ↑ ↗
← S 80.943138°
E148.452759°		 ← 96.16 m → S 80.943138°
E148.458252°		 →
↑
96.14 m
↓
↑
96.14 m
↓
S 80.944002°
E148.452759°		 ← 96.15 m →
9 244 m²		 S 80.944002°
E148.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912376403808594 y=0.903587341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912376403808594 × 216)
    floor (0.912376403808594 × 65536)
    floor (59793.5)     		tx = 59793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903587341308594 × 216)
    floor (0.903587341308594 × 65536)
    floor (59217.5)     		ty = 59217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59793 / 59217 ti = "16/59793/59217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59793/59217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59793 ÷ 216
    59793 ÷ 65536     		x = 0.912368774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59217 ÷ 216
    59217 ÷ 65536     		y = 0.903579711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912368774414062 × 2 - 1) × π
    0.824737548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59098942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903579711914062 × 2 - 1) × π
    -0.807159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53576611610173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59098942} λ = 2.59098942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53576611610173))-π/2
    2×atan(0.0792010188401073)-π/2
    2×0.0790360352550354-π/2
    0.158072070510071-1.57079632675     		φ = -1.41272426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59098942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41272426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.943138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59793 KachelY 59217 2.59098942 -1.41272426 148.452759 -80.943138
    Oben rechts KachelX + 1 59794 KachelY 59217 2.59108530 -1.41272426 148.458252 -80.943138
    Unten links KachelX 59793 KachelY + 1 59218 2.59098942 -1.41273935 148.452759 -80.944002
    Unten rechts KachelX + 1 59794 KachelY + 1 59218 2.59108530 -1.41273935 148.458252 -80.944002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41272426--1.41273935) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dl = 96.1383899999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41272426--1.41273935) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dr = 96.1383899999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59098942-2.59108530) × cos(-1.41272426) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157414603445782 × 6371000     		do = 96.1569434884061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59098942-2.59108530) × cos(-1.41273935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157399701560876 × 6371000     		du = 96.1478406499565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41272426)-sin(-1.41273935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157414603445782-0.157399701560876)×R²
    abs(2.59108530-2.59098942)×1.49018849058269e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49018849058269e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49018849058269e-05×40589641000000     		ar = 9243.93616835786m²