Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59793 / 27539
↖ ↑ ↗
← N 71.619544°
W 15.773620°		 ← 96.29 m → N 71.619544°
W 15.770874°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
N 71.618679°
W 15.773620°		 ← 96.29 m →
9 269 m²		 N 71.618679°
W 15.770874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456188201904297 y=0.210109710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456188201904297 × 217)
    floor (0.456188201904297 × 131072)
    floor (59793.5)     		tx = 59793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210109710693359 × 217)
    floor (0.210109710693359 × 131072)
    floor (27539.5)     		ty = 27539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59793 / 27539 ti = "17/59793/27539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59793/27539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59793 ÷ 217
    59793 ÷ 131072     		x = 0.456184387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27539 ÷ 217
    27539 ÷ 131072     		y = 0.210105895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456184387207031 × 2 - 1) × π
    -0.0876312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27530161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210105895996094 × 2 - 1) × π
    0.579788208007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.82145837486327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27530161} λ = -0.27530161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82145837486327))-π/2
    2×atan(6.18086589962923)-π/2
    2×1.41039659547545-π/2
    2.8207931909509-1.57079632675     		φ = 1.24999686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27530161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.773620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24999686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.619544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59793 KachelY 27539 -0.27530161 1.24999686 -15.773620 71.619544
    Oben rechts KachelX + 1 59794 KachelY 27539 -0.27525368 1.24999686 -15.770874 71.619544
    Unten links KachelX 59793 KachelY + 1 27540 -0.27530161 1.24998175 -15.773620 71.618679
    Unten rechts KachelX + 1 59794 KachelY + 1 27540 -0.27525368 1.24998175 -15.770874 71.618679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24999686-1.24998175) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dl = 96.2658100006109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24999686-1.24998175) × R
    1.51100000000959e-05 × 6371000     		dr = 96.2658100006109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27530161--0.27525368) × cos(1.24999686) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.315325342205419 × 6371000     		do = 96.2883866062388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27530161--0.27525368) × cos(1.24998175) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.31533968131206 × 6371000     		du = 96.2927652249511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24999686)-sin(1.24998175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315325342205419-0.31533968131206)×R²
    abs(-0.27525368--0.27530161)×1.43391066410592e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.43391066410592e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.43391066410592e-05×40589641000000     		ar = 9269.49028614608m²