Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59791 / 59086
↖ ↑ ↗
← S 80.829156°
E148.441773°		 ← 97.35 m → S 80.829156°
E148.447266°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 80.830031°
E148.441773°		 ← 97.34 m →
9 476 m²		 S 80.830031°
E148.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912345886230469 y=0.901588439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912345886230469 × 216)
    floor (0.912345886230469 × 65536)
    floor (59791.5)     		tx = 59791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901588439941406 × 216)
    floor (0.901588439941406 × 65536)
    floor (59086.5)     		ty = 59086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59791 / 59086 ti = "16/59791/59086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59791/59086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59791 ÷ 216
    59791 ÷ 65536     		x = 0.912338256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59086 ÷ 216
    59086 ÷ 65536     		y = 0.901580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912338256835938 × 2 - 1) × π
    0.824676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59079768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.80316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52320664840128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59079768} λ = 2.59079768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52320664840128))-π/2
    2×atan(0.0802020143051083)-π/2
    2×0.0800307121216438-π/2
    0.160061424243288-1.57079632675     		φ = -1.41073490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59079768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.441773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41073490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.829156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59791 KachelY 59086 2.59079768 -1.41073490 148.441773 -80.829156
    Oben rechts KachelX + 1 59792 KachelY 59086 2.59089355 -1.41073490 148.447266 -80.829156
    Unten links KachelX 59791 KachelY + 1 59087 2.59079768 -1.41075018 148.441773 -80.830031
    Unten rechts KachelX + 1 59792 KachelY + 1 59087 2.59089355 -1.41075018 148.447266 -80.830031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41073490--1.41075018) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41073490--1.41075018) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59079768-2.59089355) × cos(-1.41073490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159378848521486 × 6371000     		do = 97.3466514736043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59079768-2.59089355) × cos(-1.41075018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159363763819556 × 6371000     		du = 97.3374379221511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41073490)-sin(-1.41075018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159378848521486-0.159363763819556)×R²
    abs(2.59089355-2.59079768)×1.50847019303457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50847019303457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50847019303457e-05×40589641000000     		ar = 9476.13902853356m²