Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59791 / 35451
↖ ↑ ↗
← N 63.397672°
W 15.779114°		 ← 136.77 m → N 63.397672°
W 15.776367°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
N 63.396442°
W 15.779114°		 ← 136.77 m →
18 700 m²		 N 63.396442°
W 15.776367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456172943115234 y=0.270473480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456172943115234 × 217)
    floor (0.456172943115234 × 131072)
    floor (59791.5)     		tx = 59791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270473480224609 × 217)
    floor (0.270473480224609 × 131072)
    floor (35451.5)     		ty = 35451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59791 / 35451 ti = "17/59791/35451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59791/35451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59791 ÷ 217
    59791 ÷ 131072     		x = 0.456169128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35451 ÷ 217
    35451 ÷ 131072     		y = 0.270469665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456169128417969 × 2 - 1) × π
    -0.0876617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27539749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270469665527344 × 2 - 1) × π
    0.459060668945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.44218162506939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27539749} λ = -0.27539749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44218162506939))-π/2
    2×atan(4.2299138442848)-π/2
    2×1.3386472200904-π/2
    2.67729444018079-1.57079632675     		φ = 1.10649811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27539749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.779114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10649811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.397672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59791 KachelY 35451 -0.27539749 1.10649811 -15.779114 63.397672
    Oben rechts KachelX + 1 59792 KachelY 35451 -0.27534955 1.10649811 -15.776367 63.397672
    Unten links KachelX 59791 KachelY + 1 35452 -0.27539749 1.10647665 -15.779114 63.396442
    Unten rechts KachelX + 1 59792 KachelY + 1 35452 -0.27534955 1.10647665 -15.776367 63.396442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10649811-1.10647665) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10649811-1.10647665) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27539749--0.27534955) × cos(1.10649811) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447795422109985 × 6371000     		do = 136.768248166623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27539749--0.27534955) × cos(1.10647665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447814610166313 × 6371000     		du = 136.774108692926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10649811)-sin(1.10647665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447795422109985-0.447814610166313)×R²
    abs(-0.27534955--0.27539749)×1.91880563278346e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91880563278346e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91880563278346e-05×40589641000000     		ar = 18699.5825557848m²