Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59790 / 59232
↖ ↑ ↗
← S 80.956099°
E148.436279°		 ← 96.02 m → S 80.956099°
E148.441773°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
S 80.956962°
E148.436279°		 ← 96.01 m →
9 219 m²		 S 80.956962°
E148.441773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912330627441406 y=0.903816223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912330627441406 × 216)
    floor (0.912330627441406 × 65536)
    floor (59790.5)     		tx = 59790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903816223144531 × 216)
    floor (0.903816223144531 × 65536)
    floor (59232.5)     		ty = 59232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59790 / 59232 ti = "16/59790/59232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59790/59232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59790 ÷ 216
    59790 ÷ 65536     		x = 0.912322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59232 ÷ 216
    59232 ÷ 65536     		y = 0.90380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912322998046875 × 2 - 1) × π
    0.82464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59070180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90380859375 × 2 - 1) × π
    -0.8076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53720422309033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59070180} λ = 2.59070180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53720422309033))-π/2
    2×atan(0.0790872011620241)-π/2
    2×0.0789229260692746-π/2
    0.157845852138549-1.57079632675     		φ = -1.41295047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59070180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.436279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41295047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.956099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59790 KachelY 59232 2.59070180 -1.41295047 148.436279 -80.956099
    Oben rechts KachelX + 1 59791 KachelY 59232 2.59079768 -1.41295047 148.441773 -80.956099
    Unten links KachelX 59790 KachelY + 1 59233 2.59070180 -1.41296554 148.436279 -80.956962
    Unten rechts KachelX + 1 59791 KachelY + 1 59233 2.59079768 -1.41296554 148.441773 -80.956962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41295047--1.41296554) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dl = 96.010970000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41295047--1.41296554) × R
    1.50700000001169e-05 × 6371000     		dr = 96.010970000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59070180-2.59079768) × cos(-1.41295047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157191209669962 × 6371000     		do = 96.0204830698234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59070180-2.59079768) × cos(-1.41296554) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157176326999537 × 6371000     		du = 96.0113919685684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41295047)-sin(-1.41296554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157191209669962-0.157176326999537)×R²
    abs(2.59079768-2.59070180)×1.48826704242377e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48826704242377e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48826704242377e-05×40589641000000     		ar = 9218.58329689248m²