Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59790 / 35449
↖ ↑ ↗
← N 63.400131°
W 15.781861°		 ← 136.76 m → N 63.400131°
W 15.779114°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
N 63.398902°
W 15.781861°		 ← 136.76 m →
18 698 m²		 N 63.398902°
W 15.779114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456165313720703 y=0.270458221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456165313720703 × 217)
    floor (0.456165313720703 × 131072)
    floor (59790.5)     		tx = 59790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270458221435547 × 217)
    floor (0.270458221435547 × 131072)
    floor (35449.5)     		ty = 35449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59790 / 35449 ti = "17/59790/35449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59790/35449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59790 ÷ 217
    59790 ÷ 131072     		x = 0.456161499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35449 ÷ 217
    35449 ÷ 131072     		y = 0.270454406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456161499023438 × 2 - 1) × π
    -0.087677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27544543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270454406738281 × 2 - 1) × π
    0.459091186523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.44227749886863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27544543} λ = -0.27544543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44227749886863))-π/2
    2×atan(4.23031940163636)-π/2
    2×1.3386686850944-π/2
    2.67733737018879-1.57079632675     		φ = 1.10654104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27544543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.781861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10654104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.400131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59790 KachelY 35449 -0.27544543 1.10654104 -15.781861 63.400131
    Oben rechts KachelX + 1 59791 KachelY 35449 -0.27539749 1.10654104 -15.779114 63.400131
    Unten links KachelX 59790 KachelY + 1 35450 -0.27544543 1.10651958 -15.781861 63.398902
    Unten rechts KachelX + 1 59791 KachelY + 1 35450 -0.27539749 1.10651958 -15.779114 63.398902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10654104-1.10651958) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10654104-1.10651958) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27544543--0.27539749) × cos(1.10654104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447757036437114 × 6371000     		do = 136.756524193923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27544543--0.27539749) × cos(1.10651958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447776224905977 × 6371000     		du = 136.762384846225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10654104)-sin(1.10651958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447757036437114-0.447776224905977)×R²
    abs(-0.27539749--0.27544543)×1.91884688629518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91884688629518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91884688629518e-05×40589641000000     		ar = 18697.9796432637m²