Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5979 / 6885
↖ ↑ ↗
← N 27.586198°
W 48.625488°		 ← 2 165.46 m → N 27.586198°
W 48.603516°		 →
↑
2 165.69 m
↓
↑
2 165.69 m
↓
N 27.566721°
W 48.625488°		 ← 2 165.84 m →
4 690 136 m²		 N 27.566721°
W 48.603516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364959716796875 y=0.420257568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364959716796875 × 214)
    floor (0.364959716796875 × 16384)
    floor (5979.5)     		tx = 5979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420257568359375 × 214)
    floor (0.420257568359375 × 16384)
    floor (6885.5)     		ty = 6885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5979 / 6885 ti = "14/5979/6885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5979/6885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5979 ÷ 214
    5979 ÷ 16384     		x = 0.36492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6885 ÷ 214
    6885 ÷ 16384     		y = 0.42022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84867487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42022705078125 × 2 - 1) × π
    0.1595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.501228222427307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84867487} λ = -0.84867487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501228222427307))-π/2
    2×atan(1.65074751122349)-π/2
    2×1.02613315375277-π/2
    2.05226630750554-1.57079632675     		φ = 0.48146998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84867487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48146998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.586198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5979 KachelY 6885 -0.84867487 0.48146998 -48.625488 27.586198
    Oben rechts KachelX + 1 5980 KachelY 6885 -0.84829138 0.48146998 -48.603516 27.586198
    Unten links KachelX 5979 KachelY + 1 6886 -0.84867487 0.48113005 -48.625488 27.566721
    Unten rechts KachelX + 1 5980 KachelY + 1 6886 -0.84829138 0.48113005 -48.603516 27.566721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48146998-0.48113005) × R
    0.000339930000000044 × 6371000     		dl = 2165.69403000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48146998-0.48113005) × R
    0.000339930000000044 × 6371000     		dr = 2165.69403000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84867487--0.84829138) × cos(0.48146998) × R
    0.000383489999999931 × 0.886315158543873 × 6371000     		do = 2165.45830395519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84867487--0.84829138) × cos(0.48113005) × R
    0.000383489999999931 × 0.886472522981064 × 6371000     		du = 2165.84277907556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48146998)-sin(0.48113005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886315158543873-0.886472522981064)×R²
    abs(-0.84829138--0.84867487)×0.000157364437190943×R²
    0.000383489999999931×0.000157364437190943×6371000²
    0.000383489999999931×0.000157364437190943×40589641000000     		ar = 4690136.49398976m²