Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59789 / 59226
↖ ↑ ↗
← S 80.950917°
E148.430786°		 ← 96.07 m → S 80.950917°
E148.436279°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
S 80.951780°
E148.430786°		 ← 96.06 m →
9 223 m²		 S 80.951780°
E148.436279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912315368652344 y=0.903724670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912315368652344 × 216)
    floor (0.912315368652344 × 65536)
    floor (59789.5)     		tx = 59789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903724670410156 × 216)
    floor (0.903724670410156 × 65536)
    floor (59226.5)     		ty = 59226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59789 / 59226 ti = "16/59789/59226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59789/59226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59789 ÷ 216
    59789 ÷ 65536     		x = 0.912307739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59226 ÷ 216
    59226 ÷ 65536     		y = 0.903717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912307739257812 × 2 - 1) × π
    0.824615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59060593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.80743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53662898029489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59060593} λ = 2.59060593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53662898029489))-π/2
    2×atan(0.07913270859236)-π/2
    2×0.0789681504679066-π/2
    0.157936300935813-1.57079632675     		φ = -1.41286003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59060593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41286003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.950917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59789 KachelY 59226 2.59060593 -1.41286003 148.430786 -80.950917
    Oben rechts KachelX + 1 59790 KachelY 59226 2.59070180 -1.41286003 148.436279 -80.950917
    Unten links KachelX 59789 KachelY + 1 59227 2.59060593 -1.41287510 148.430786 -80.951780
    Unten rechts KachelX + 1 59790 KachelY + 1 59227 2.59070180 -1.41287510 148.436279 -80.951780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41286003--1.41287510) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41286003--1.41287510) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59060593-2.59070180) × cos(-1.41286003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157280524693791 × 6371000     		do = 96.0650209421482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59060593-2.59070180) × cos(-1.41287510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157265642237658 × 6371000     		du = 96.0559309199549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41286003)-sin(-1.41287510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157280524693791-0.157265642237658)×R²
    abs(2.59070180-2.59060593)×1.488245613257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.488245613257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.488245613257e-05×40589641000000     		ar = 9222.85947290465m²