Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59789 / 35448
↖ ↑ ↗
← N 63.401362°
W 15.784607°		 ← 136.72 m → N 63.401362°
W 15.781861°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
N 63.400131°
W 15.784607°		 ← 136.73 m →
18 702 m²		 N 63.400131°
W 15.781861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456157684326172 y=0.270450592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456157684326172 × 217)
    floor (0.456157684326172 × 131072)
    floor (59789.5)     		tx = 59789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270450592041016 × 217)
    floor (0.270450592041016 × 131072)
    floor (35448.5)     		ty = 35448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59789 / 35448 ti = "17/59789/35448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59789/35448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59789 ÷ 217
    59789 ÷ 131072     		x = 0.456153869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35448 ÷ 217
    35448 ÷ 131072     		y = 0.27044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456153869628906 × 2 - 1) × π
    -0.0876922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27549336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27044677734375 × 2 - 1) × π
    0.4591064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.44232543576825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27549336} λ = -0.27549336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44232543576825))-π/2
    2×atan(4.23052219489348)-π/2
    2×1.33867941690638-π/2
    2.67735883381276-1.57079632675     		φ = 1.10656251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27549336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.784607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10656251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.401362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59789 KachelY 35448 -0.27549336 1.10656251 -15.784607 63.401362
    Oben rechts KachelX + 1 59790 KachelY 35448 -0.27544543 1.10656251 -15.781861 63.401362
    Unten links KachelX 59789 KachelY + 1 35449 -0.27549336 1.10654104 -15.784607 63.400131
    Unten rechts KachelX + 1 59790 KachelY + 1 35449 -0.27544543 1.10654104 -15.781861 63.400131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10656251-1.10654104) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10656251-1.10654104) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27549336--0.27544543) × cos(1.10656251) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.447737838820396 × 6371000     		do = 136.722135370093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27549336--0.27544543) × cos(1.10654104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.447757036437114 × 6371000     		du = 136.727997593305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10656251)-sin(1.10654104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447737838820396-0.447757036437114)×R²
    abs(-0.27544543--0.27549336)×1.91976167181473e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91976167181473e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91976167181473e-05×40589641000000     		ar = 18701.9888077026m²