Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59788 / 59228
↖ ↑ ↗
← S 80.952644°
E148.425293°		 ← 96.05 m → S 80.952644°
E148.430786°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
S 80.953508°
E148.425293°		 ← 96.04 m →
9 227 m²		 S 80.953508°
E148.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912300109863281 y=0.903755187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912300109863281 × 216)
    floor (0.912300109863281 × 65536)
    floor (59788.5)     		tx = 59788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903755187988281 × 216)
    floor (0.903755187988281 × 65536)
    floor (59228.5)     		ty = 59228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59788 / 59228 ti = "16/59788/59228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59788/59228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59788 ÷ 216
    59788 ÷ 65536     		x = 0.91229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59228 ÷ 216
    59228 ÷ 65536     		y = 0.90374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59051006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.8074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59051006} λ = 2.59051006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53682072789337))-π/2
    2×atan(0.0791175365401749)-π/2
    2×0.0789530728136737-π/2
    0.157906145627347-1.57079632675     		φ = -1.41289018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59051006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41289018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.952644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59788 KachelY 59228 2.59051006 -1.41289018 148.425293 -80.952644
    Oben rechts KachelX + 1 59789 KachelY 59228 2.59060593 -1.41289018 148.430786 -80.952644
    Unten links KachelX 59788 KachelY + 1 59229 2.59051006 -1.41290526 148.425293 -80.953508
    Unten rechts KachelX + 1 59789 KachelY + 1 59229 2.59060593 -1.41290526 148.430786 -80.953508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41289018--1.41290526) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41289018--1.41290526) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59051006-2.59060593) × cos(-1.41289018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157250749870223 × 6371000     		do = 96.0468348440589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59051006-2.59060593) × cos(-1.41290526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157235857467027 × 6371000     		du = 96.0377387463212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41289018)-sin(-1.41290526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157250749870223-0.157235857467027)×R²
    abs(2.59060593-2.59051006)×1.48924031954101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48924031954101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48924031954101e-05×40589641000000     		ar = 9227.2319704608m²