Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59788 / 59116
↖ ↑ ↗
← S 80.855384°
E148.425293°		 ← 97.07 m → S 80.855384°
E148.430786°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 80.856257°
E148.425293°		 ← 97.06 m →
9 425 m²		 S 80.856257°
E148.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912300109863281 y=0.902046203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912300109863281 × 216)
    floor (0.912300109863281 × 65536)
    floor (59788.5)     		tx = 59788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902046203613281 × 216)
    floor (0.902046203613281 × 65536)
    floor (59116.5)     		ty = 59116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59788 / 59116 ti = "16/59788/59116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59788/59116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59788 ÷ 216
    59788 ÷ 65536     		x = 0.91229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59116 ÷ 216
    59116 ÷ 65536     		y = 0.90203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59051006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.8040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52608286237848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59051006} λ = 2.59051006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52608286237848))-π/2
    2×atan(0.0799716675726072)-π/2
    2×0.0798018333958669-π/2
    0.159603666791734-1.57079632675     		φ = -1.41119266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59051006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41119266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.855384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59788 KachelY 59116 2.59051006 -1.41119266 148.425293 -80.855384
    Oben rechts KachelX + 1 59789 KachelY 59116 2.59060593 -1.41119266 148.430786 -80.855384
    Unten links KachelX 59788 KachelY + 1 59117 2.59051006 -1.41120790 148.425293 -80.856257
    Unten rechts KachelX + 1 59789 KachelY + 1 59117 2.59060593 -1.41120790 148.430786 -80.856257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41119266--1.41120790) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41119266--1.41120790) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59051006-2.59060593) × cos(-1.41119266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158926923158251 × 6371000     		do = 97.0706209887874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59051006-2.59060593) × cos(-1.41120790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158911876834878 × 6371000     		du = 97.0614308784877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41119266)-sin(-1.41120790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158926923158251-0.158911876834878)×R²
    abs(2.59060593-2.59051006)×1.50463233730969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50463233730969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50463233730969e-05×40589641000000     		ar = 9424.53260486403m²