Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59787 / 85203
↖ ↑ ↗
← S 47.433662°
W 15.790100°		 ← 206.60 m → S 47.433662°
W 15.787354°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
S 47.435519°
W 15.790100°		 ← 206.60 m →
42 673 m²		 S 47.435519°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456142425537109 y=0.650051116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456142425537109 × 217)
    floor (0.456142425537109 × 131072)
    floor (59787.5)     		tx = 59787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650051116943359 × 217)
    floor (0.650051116943359 × 131072)
    floor (85203.5)     		ty = 85203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59787 / 85203 ti = "17/59787/85203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59787/85203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59787 ÷ 217
    59787 ÷ 131072     		x = 0.456138610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85203 ÷ 217
    85203 ÷ 131072     		y = 0.650047302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456138610839844 × 2 - 1) × π
    -0.0877227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27558924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650047302246094 × 2 - 1) × π
    -0.300094604492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.942775004827644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27558924} λ = -0.27558924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942775004827644))-π/2
    2×atan(0.38954534388378)-π/2
    2×0.371461380611891-π/2
    0.742922761223782-1.57079632675     		φ = -0.82787357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27558924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.790100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82787357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.433662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59787 KachelY 85203 -0.27558924 -0.82787357 -15.790100 -47.433662
    Oben rechts KachelX + 1 59788 KachelY 85203 -0.27554130 -0.82787357 -15.787354 -47.433662
    Unten links KachelX 59787 KachelY + 1 85204 -0.27558924 -0.82790599 -15.790100 -47.435519
    Unten rechts KachelX + 1 59788 KachelY + 1 85204 -0.27554130 -0.82790599 -15.787354 -47.435519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82787357--0.82790599) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000     		dl = 206.54782000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82787357--0.82790599) × R
    3.2420000000033e-05 × 6371000     		dr = 206.54782000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27558924--0.27554130) × cos(-0.82787357) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67644339250037 × 6371000     		do = 206.60322372264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27558924--0.27554130) × cos(-0.82790599) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676419514989052 × 6371000     		du = 206.595930916076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82787357)-sin(-0.82790599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67644339250037-0.676419514989052)×R²
    abs(-0.27554130--0.27558924)×2.3877511318382e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3877511318382e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3877511318382e-05×40589641000000     		ar = 42672.6923119443m²