Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59787 / 59242
↖ ↑ ↗
← S 80.964730°
E148.419800°		 ← 95.93 m → S 80.964730°
E148.425293°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
S 80.965592°
E148.419800°		 ← 95.92 m →
9 198 m²		 S 80.965592°
E148.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912284851074219 y=0.903968811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912284851074219 × 216)
    floor (0.912284851074219 × 65536)
    floor (59787.5)     		tx = 59787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903968811035156 × 216)
    floor (0.903968811035156 × 65536)
    floor (59242.5)     		ty = 59242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59787 / 59242 ti = "16/59787/59242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59787/59242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59787 ÷ 216
    59787 ÷ 65536     		x = 0.912277221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59242 ÷ 216
    59242 ÷ 65536     		y = 0.903961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912277221679688 × 2 - 1) × π
    0.824554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59041418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.80792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53816296108273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59041418} λ = 2.59041418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53816296108273))-π/2
    2×atan(0.0790114135935732)-π/2
    2×0.0788476091407544-π/2
    0.157695218281509-1.57079632675     		φ = -1.41310111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59041418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.419800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41310111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.964730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59787 KachelY 59242 2.59041418 -1.41310111 148.419800 -80.964730
    Oben rechts KachelX + 1 59788 KachelY 59242 2.59051006 -1.41310111 148.425293 -80.964730
    Unten links KachelX 59787 KachelY + 1 59243 2.59041418 -1.41311616 148.419800 -80.965592
    Unten rechts KachelX + 1 59788 KachelY + 1 59243 2.59051006 -1.41311616 148.425293 -80.965592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41310111--1.41311616) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41310111--1.41311616) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59041418-2.59051006) × cos(-1.41310111) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.157042440615339 × 6371000     		do = 95.9296072730736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59041418-2.59051006) × cos(-1.41311616) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.157027577340139 × 6371000     		du = 95.9205280194195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41310111)-sin(-1.41311616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157042440615339-0.157027577340139)×R²
    abs(2.59051006-2.59041418)×1.48632752008104e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.48632752008104e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.48632752008104e-05×40589641000000     		ar = 9197.6360202235m²