Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59787 / 59227
↖ ↑ ↗
← S 80.951780°
E148.419800°		 ← 96.07 m → S 80.951780°
E148.425293°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
S 80.952644°
E148.419800°		 ← 96.06 m →
9 229 m²		 S 80.952644°
E148.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912284851074219 y=0.903739929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912284851074219 × 216)
    floor (0.912284851074219 × 65536)
    floor (59787.5)     		tx = 59787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903739929199219 × 216)
    floor (0.903739929199219 × 65536)
    floor (59227.5)     		ty = 59227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59787 / 59227 ti = "16/59787/59227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59787/59227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59787 ÷ 216
    59787 ÷ 65536     		x = 0.912277221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59227 ÷ 216
    59227 ÷ 65536     		y = 0.903732299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912277221679688 × 2 - 1) × π
    0.824554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59041418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903732299804688 × 2 - 1) × π
    -0.807464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53672485409413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59041418} λ = 2.59041418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53672485409413))-π/2
    2×atan(0.0791251222026169)-π/2
    2×0.0789606112838991-π/2
    0.157921222567798-1.57079632675     		φ = -1.41287510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59041418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.419800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41287510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.951780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59787 KachelY 59227 2.59041418 -1.41287510 148.419800 -80.951780
    Oben rechts KachelX + 1 59788 KachelY 59227 2.59051006 -1.41287510 148.425293 -80.951780
    Unten links KachelX 59787 KachelY + 1 59228 2.59041418 -1.41289018 148.419800 -80.952644
    Unten rechts KachelX + 1 59788 KachelY + 1 59228 2.59051006 -1.41289018 148.425293 -80.952644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41287510--1.41289018) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41287510--1.41289018) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59041418-2.59051006) × cos(-1.41287510) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.157265642237658 × 6371000     		do = 96.0659503144059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59041418-2.59051006) × cos(-1.41289018) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.157250749870223 × 6371000     		du = 96.0568532897171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41287510)-sin(-1.41289018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157265642237658-0.157250749870223)×R²
    abs(2.59051006-2.59041418)×1.48923674355983e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.48923674355983e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.48923674355983e-05×40589641000000     		ar = 9229.06843892158m²