Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59787 / 27549
↖ ↑ ↗
← N 71.610882°
W 15.790100°		 ← 96.35 m → N 71.610882°
W 15.787354°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.610016°
W 15.790100°		 ← 96.36 m →
9 282 m²		 N 71.610016°
W 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456142425537109 y=0.210186004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456142425537109 × 217)
    floor (0.456142425537109 × 131072)
    floor (59787.5)     		tx = 59787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210186004638672 × 217)
    floor (0.210186004638672 × 131072)
    floor (27549.5)     		ty = 27549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59787 / 27549 ti = "17/59787/27549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59787/27549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59787 ÷ 217
    59787 ÷ 131072     		x = 0.456138610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27549 ÷ 217
    27549 ÷ 131072     		y = 0.210182189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456138610839844 × 2 - 1) × π
    -0.0877227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27558924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210182189941406 × 2 - 1) × π
    0.579635620117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.82097900586707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27558924} λ = -0.27558924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82097900586707))-π/2
    2×atan(6.17790369419872)-π/2
    2×1.41032099968684-π/2
    2.82064199937367-1.57079632675     		φ = 1.24984567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27558924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.790100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24984567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.610882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59787 KachelY 27549 -0.27558924 1.24984567 -15.790100 71.610882
    Oben rechts KachelX + 1 59788 KachelY 27549 -0.27554130 1.24984567 -15.787354 71.610882
    Unten links KachelX 59787 KachelY + 1 27550 -0.27558924 1.24983055 -15.790100 71.610016
    Unten rechts KachelX + 1 59788 KachelY + 1 27550 -0.27554130 1.24983055 -15.787354 71.610016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24984567-1.24983055) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24984567-1.24983055) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27558924--0.27554130) × cos(1.24984567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315468815435858 × 6371000     		do = 96.3522964014687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27558924--0.27554130) × cos(1.24983055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315483163311276 × 6371000     		du = 96.3566786119356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24984567)-sin(1.24983055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315468815435858-0.315483163311276)×R²
    abs(-0.27554130--0.27558924)×1.43478754177639e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43478754177639e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43478754177639e-05×40589641000000     		ar = 9281.78153176003m²