Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59786 / 30129
↖ ↑ ↗
← N 69.239605°
W 15.792847°		 ← 108.24 m → N 69.239605°
W 15.790100°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 69.238632°
W 15.792847°		 ← 108.24 m →
11 716 m²		 N 69.238632°
W 15.790100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456134796142578 y=0.229869842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456134796142578 × 217)
    floor (0.456134796142578 × 131072)
    floor (59786.5)     		tx = 59786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229869842529297 × 217)
    floor (0.229869842529297 × 131072)
    floor (30129.5)     		ty = 30129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59786 / 30129 ti = "17/59786/30129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59786/30129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59786 ÷ 217
    59786 ÷ 131072     		x = 0.456130981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30129 ÷ 217
    30129 ÷ 131072     		y = 0.229866027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456130981445312 × 2 - 1) × π
    -0.087738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27563717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229866027832031 × 2 - 1) × π
    0.540267944335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.69730180484733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27563717} λ = -0.27563717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69730180484733))-π/2
    2×atan(5.45919752137178)-π/2
    2×1.38962770423176-π/2
    2.77925540846352-1.57079632675     		φ = 1.20845908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27563717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.792847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20845908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.239605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59786 KachelY 30129 -0.27563717 1.20845908 -15.792847 69.239605
    Oben rechts KachelX + 1 59787 KachelY 30129 -0.27558924 1.20845908 -15.790100 69.239605
    Unten links KachelX 59786 KachelY + 1 30130 -0.27563717 1.20844209 -15.792847 69.238632
    Unten rechts KachelX + 1 59787 KachelY + 1 30130 -0.27558924 1.20844209 -15.790100 69.238632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20845908-1.20844209) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20845908-1.20844209) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27563717--0.27558924) × cos(1.20845908) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.354460690947273 × 6371000     		do = 108.238836142803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27563717--0.27558924) × cos(1.20844209) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.354476577750981 × 6371000     		du = 108.243687369433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20845908)-sin(1.20844209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354460690947273-0.354476577750981)×R²
    abs(-0.27558924--0.27563717)×1.58868037083981e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58868037083981e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58868037083981e-05×40589641000000     		ar = 11716.3902864141m²