Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59786 / 27550
↖ ↑ ↗
← N 71.610016°
W 15.792847°		 ← 96.34 m → N 71.610016°
W 15.790100°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.609149°
W 15.792847°		 ← 96.34 m →
9 280 m²		 N 71.609149°
W 15.790100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456134796142578 y=0.210193634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456134796142578 × 217)
    floor (0.456134796142578 × 131072)
    floor (59786.5)     		tx = 59786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210193634033203 × 217)
    floor (0.210193634033203 × 131072)
    floor (27550.5)     		ty = 27550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59786 / 27550 ti = "17/59786/27550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59786/27550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59786 ÷ 217
    59786 ÷ 131072     		x = 0.456130981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27550 ÷ 217
    27550 ÷ 131072     		y = 0.210189819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456130981445312 × 2 - 1) × π
    -0.087738037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27563717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210189819335938 × 2 - 1) × π
    0.579620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82093106896745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27563717} λ = -0.27563717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82093106896745))-π/2
    2×atan(6.1776075517476)-π/2
    2×1.41031343821645-π/2
    2.82062687643289-1.57079632675     		φ = 1.24983055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27563717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.792847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24983055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.610016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59786 KachelY 27550 -0.27563717 1.24983055 -15.792847 71.610016
    Oben rechts KachelX + 1 59787 KachelY 27550 -0.27558924 1.24983055 -15.790100 71.610016
    Unten links KachelX 59786 KachelY + 1 27551 -0.27563717 1.24981543 -15.792847 71.609149
    Unten rechts KachelX + 1 59787 KachelY + 1 27551 -0.27558924 1.24981543 -15.790100 71.609149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24983055-1.24981543) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24983055-1.24981543) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27563717--0.27558924) × cos(1.24983055) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.315483163311276 × 6371000     		do = 96.3365791795001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27563717--0.27558924) × cos(1.24981543) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.31549751111457 × 6371000     		du = 96.3409604538399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24983055)-sin(1.24981543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315483163311276-0.31549751111457)×R²
    abs(-0.27558924--0.27563717)×1.43478032937905e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.43478032937905e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.43478032937905e-05×40589641000000     		ar = 9280.26745383895m²