Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59785 / 59145
↖ ↑ ↗
← S 80.880666°
E148.408813°		 ← 96.81 m → S 80.880666°
E148.414307°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 80.881537°
E148.408813°		 ← 96.81 m →
9 375 m²		 S 80.881537°
E148.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912254333496094 y=0.902488708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912254333496094 × 216)
    floor (0.912254333496094 × 65536)
    floor (59785.5)     		tx = 59785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902488708496094 × 216)
    floor (0.902488708496094 × 65536)
    floor (59145.5)     		ty = 59145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59785 / 59145 ti = "16/59785/59145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59785/59145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59785 ÷ 216
    59785 ÷ 65536     		x = 0.912246704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59145 ÷ 216
    59145 ÷ 65536     		y = 0.902481079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912246704101562 × 2 - 1) × π
    0.824493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59022243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902481079101562 × 2 - 1) × π
    -0.804962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52886320255644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59022243} λ = 2.59022243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52886320255644))-π/2
    2×atan(0.0797496279480369)-π/2
    2×0.0795812009051044-π/2
    0.159162401810209-1.57079632675     		φ = -1.41163392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59022243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41163392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.880666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59785 KachelY 59145 2.59022243 -1.41163392 148.408813 -80.880666
    Oben rechts KachelX + 1 59786 KachelY 59145 2.59031831 -1.41163392 148.414307 -80.880666
    Unten links KachelX 59785 KachelY + 1 59146 2.59022243 -1.41164912 148.408813 -80.881537
    Unten rechts KachelX + 1 59786 KachelY + 1 59146 2.59031831 -1.41164912 148.414307 -80.881537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41163392--1.41164912) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41163392--1.41164912) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59022243-2.59031831) × cos(-1.41163392) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158491255960658 × 6371000     		do = 96.814618270563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59022243-2.59031831) × cos(-1.41164912) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158476248064559 × 6371000     		du = 96.8054506750198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41163392)-sin(-1.41164912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158491255960658-0.158476248064559)×R²
    abs(2.59031831-2.59022243)×1.50078960981237e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50078960981237e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50078960981237e-05×40589641000000     		ar = 9375.00629038185m²