Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59785 / 27550
↖ ↑ ↗
← N 71.610016°
W 15.795593°		 ← 96.36 m → N 71.610016°
W 15.792847°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.609149°
W 15.795593°		 ← 96.36 m →
9 282 m²		 N 71.609149°
W 15.792847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456127166748047 y=0.210193634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456127166748047 × 217)
    floor (0.456127166748047 × 131072)
    floor (59785.5)     		tx = 59785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210193634033203 × 217)
    floor (0.210193634033203 × 131072)
    floor (27550.5)     		ty = 27550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59785 / 27550 ti = "17/59785/27550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59785/27550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59785 ÷ 217
    59785 ÷ 131072     		x = 0.456123352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27550 ÷ 217
    27550 ÷ 131072     		y = 0.210189819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456123352050781 × 2 - 1) × π
    -0.0877532958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27568511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210189819335938 × 2 - 1) × π
    0.579620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82093106896745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27568511} λ = -0.27568511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82093106896745))-π/2
    2×atan(6.1776075517476)-π/2
    2×1.41031343821645-π/2
    2.82062687643289-1.57079632675     		φ = 1.24983055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27568511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.795593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24983055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.610016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59785 KachelY 27550 -0.27568511 1.24983055 -15.795593 71.610016
    Oben rechts KachelX + 1 59786 KachelY 27550 -0.27563717 1.24983055 -15.792847 71.610016
    Unten links KachelX 59785 KachelY + 1 27551 -0.27568511 1.24981543 -15.795593 71.609149
    Unten rechts KachelX + 1 59786 KachelY + 1 27551 -0.27563717 1.24981543 -15.792847 71.609149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24983055-1.24981543) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24983055-1.24981543) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27568511--0.27563717) × cos(1.24983055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315483163311276 × 6371000     		do = 96.3566786119356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27568511--0.27563717) × cos(1.24981543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.31549751111457 × 6371000     		du = 96.361060800374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24983055)-sin(1.24981543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315483163311276-0.31549751111457)×R²
    abs(-0.27563717--0.27568511)×1.43478032937905e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43478032937905e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43478032937905e-05×40589641000000     		ar = 9282.20366654508m²