Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59784 / 85126
↖ ↑ ↗
← S 47.290408°
W 15.798340°		 ← 207.16 m → S 47.290408°
W 15.795593°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
S 47.292271°
W 15.798340°		 ← 207.16 m →
42 921 m²		 S 47.292271°
W 15.795593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456119537353516 y=0.649463653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456119537353516 × 217)
    floor (0.456119537353516 × 131072)
    floor (59784.5)     		tx = 59784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649463653564453 × 217)
    floor (0.649463653564453 × 131072)
    floor (85126.5)     		ty = 85126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59784 / 85126 ti = "17/59784/85126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59784/85126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59784 ÷ 217
    59784 ÷ 131072     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85126 ÷ 217
    85126 ÷ 131072     		y = 0.649459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.298919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.9390838635569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9390838635569))-π/2
    2×atan(0.390985867732394)-π/2
    2×0.372711501840742-π/2
    0.745423003681484-1.57079632675     		φ = -0.82537332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82537332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.290408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59784 KachelY 85126 -0.27573305 -0.82537332 -15.798340 -47.290408
    Oben rechts KachelX + 1 59785 KachelY 85126 -0.27568511 -0.82537332 -15.795593 -47.290408
    Unten links KachelX 59784 KachelY + 1 85127 -0.27573305 -0.82540584 -15.798340 -47.292271
    Unten rechts KachelX + 1 59785 KachelY + 1 85127 -0.27568511 -0.82540584 -15.795593 -47.292271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82537332--0.82540584) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82537332--0.82540584) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27568511) × cos(-0.82537332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678282696967638 × 6371000     		do = 207.164994650401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27568511) × cos(-0.82540584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.678258800878839 × 6371000     		du = 207.157696169796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82537332)-sin(-0.82540584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678282696967638-0.678258800878839)×R²
    abs(-0.27568511--0.27573305)×2.38960887989359e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38960887989359e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38960887989359e-05×40589641000000     		ar = 42920.7067796341m²