Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59784 / 59224
↖ ↑ ↗
← S 80.949188°
E148.403320°		 ← 96.08 m → S 80.949188°
E148.408813°		 →
↑
96.14 m
↓
↑
96.14 m
↓
S 80.950053°
E148.403320°		 ← 96.07 m →
9 237 m²		 S 80.950053°
E148.408813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912239074707031 y=0.903694152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912239074707031 × 216)
    floor (0.912239074707031 × 65536)
    floor (59784.5)     		tx = 59784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903694152832031 × 216)
    floor (0.903694152832031 × 65536)
    floor (59224.5)     		ty = 59224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59784 / 59224 ti = "16/59784/59224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59784/59224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59784 ÷ 216
    59784 ÷ 65536     		x = 0.9122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59224 ÷ 216
    59224 ÷ 65536     		y = 0.9036865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9122314453125 × 2 - 1) × π
    0.824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59012656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53643723269641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59012656} λ = 2.59012656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53643723269641))-π/2
    2×atan(0.0791478835540285)-π/2
    2×0.0789832309775312-π/2
    0.157966461955062-1.57079632675     		φ = -1.41282986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59012656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41282986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.949188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59784 KachelY 59224 2.59012656 -1.41282986 148.403320 -80.949188
    Oben rechts KachelX + 1 59785 KachelY 59224 2.59022243 -1.41282986 148.408813 -80.949188
    Unten links KachelX 59784 KachelY + 1 59225 2.59012656 -1.41284495 148.403320 -80.950053
    Unten rechts KachelX + 1 59785 KachelY + 1 59225 2.59022243 -1.41284495 148.408813 -80.950053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41282986--1.41284495) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dl = 96.1383899999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41282986--1.41284495) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dr = 96.1383899999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59012656-2.59022243) × cos(-1.41282986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157310319125372 × 6371000     		do = 96.0832190165721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59012656-2.59022243) × cos(-1.41284495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15729541698972 × 6371000     		du = 96.0741169743692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41282986)-sin(-1.41284495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157310319125372-0.15729541698972)×R²
    abs(2.59022243-2.59012656)×1.49021356516954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49021356516954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49021356516954e-05×40589641000000     		ar = 9236.84845447983m²