Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59784 / 35447
↖ ↑ ↗
← N 63.402591°
W 15.798340°		 ← 136.74 m → N 63.402591°
W 15.795593°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
N 63.401362°
W 15.798340°		 ← 136.75 m →
18 696 m²		 N 63.401362°
W 15.795593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456119537353516 y=0.270442962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456119537353516 × 217)
    floor (0.456119537353516 × 131072)
    floor (59784.5)     		tx = 59784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270442962646484 × 217)
    floor (0.270442962646484 × 131072)
    floor (35447.5)     		ty = 35447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59784 / 35447 ti = "17/59784/35447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59784/35447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59784 ÷ 217
    59784 ÷ 131072     		x = 0.45611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35447 ÷ 217
    35447 ÷ 131072     		y = 0.270439147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270439147949219 × 2 - 1) × π
    0.459121704101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.44237337266787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27573305} λ = -0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44237337266787))-π/2
    2×atan(4.23072499787211)-π/2
    2×1.33869014825837-π/2
    2.67738029651673-1.57079632675     		φ = 1.10658397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10658397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.402591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59784 KachelY 35447 -0.27573305 1.10658397 -15.798340 63.402591
    Oben rechts KachelX + 1 59785 KachelY 35447 -0.27568511 1.10658397 -15.795593 63.402591
    Unten links KachelX 59784 KachelY + 1 35448 -0.27573305 1.10656251 -15.798340 63.401362
    Unten rechts KachelX + 1 59785 KachelY + 1 35448 -0.27568511 1.10656251 -15.795593 63.401362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10658397-1.10656251) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dl = 136.721659999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10658397-1.10656251) × R
    2.14599999999177e-05 × 6371000     		dr = 136.721659999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27573305--0.27568511) × cos(1.10658397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447718649939033 × 6371000     		do = 136.74479996934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27573305--0.27568511) × cos(1.10656251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447737838820396 × 6371000     		du = 136.75066074763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10658397)-sin(1.10656251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447718649939033-0.447737838820396)×R²
    abs(-0.27568511--0.27573305)×1.91888813627084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91888813627084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91888813627084e-05×40589641000000     		ar = 18696.3766964148m²